El método de Macaulay (el método de doble integración) es una técnica utilizada en el análisis estructural para determinar la deflexión de las vigas de Euler-Bernoulli . El uso de la técnica de Macaulay es muy conveniente para casos de carga discontinua y / o discreta. Normalmente, las cargas parciales distribuidas uniformemente (udl) y las cargas que varían uniformemente (uvl) sobre el tramo y una serie de cargas concentradas se manejan convenientemente utilizando esta técnica.
La primera descripción en inglés del método fue realizada por Macaulay . [1] El enfoque actual parece haber sido desarrollado por Clebsch en 1862. [2] El método de Macaulay se ha generalizado para vigas Euler-Bernoulli con compresión axial, [3] para vigas Timoshenko , [4] para cimentaciones elásticas , [5] ya problemas en los que la rigidez a la flexión y cortante cambia de forma discontinua en una viga. [6]
Método
El punto de partida es la relación de la teoría de la viga de Euler-Bernoulli
Dónde es la desviación y es el momento flector. Esta ecuación [7] es más simple que la ecuación del haz de cuarto orden y se puede integrar dos veces para encontrar si el valor de como una función de es conocida. Para cargas generales, se puede expresar en la forma
donde las cantidades representan los momentos flectores debidos a cargas puntuales y la cantidad es un paréntesis de Macaulay definido como
Normalmente, al integrar obtenemos
Sin embargo, al integrar expresiones que contienen corchetes de Macaulay, tenemos
con la diferencia entre las dos expresiones contenidas en la constante . El uso de estas reglas de integración simplifica el cálculo de la deflexión de las vigas de Euler-Bernoulli en situaciones en las que existen múltiples cargas puntuales y momentos puntuales. El método Macaulay es anterior a conceptos más sofisticados, como las funciones delta de Dirac y las funciones escalonadas, pero logra los mismos resultados para los problemas de haz.
Ejemplo: viga simplemente apoyada con carga puntual
Una ilustración del método Macaulay considera una viga simplemente apoyada con una sola carga concentrada excéntrica como se muestra en la figura adyacente. El primer paso es encontrar. Las reacciones en los soportes A y C se determinan a partir del equilibrio de fuerzas y momentos como
Por lo tanto, y el momento flector en un punto D entre A y B () es dado por
Usando la relación momento-curvatura y la expresión de Euler-Bernoulli para el momento flector, tenemos
Integrando la ecuación anterior obtenemos, por ,
A
Para un punto D en la región BC (), el momento flector es
En el enfoque de Macaulay usamos la forma de corchete de Macaulay de la expresión anterior para representar el hecho de que se ha aplicado una carga puntual en la ubicación B, es decir,
Por lo tanto, la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli para esta región tiene la forma
Integrando la ecuación anterior, obtenemos para
A
Comparando las ecuaciones (iii) y (vii) y (iv) y (viii) notamos que debido a la continuidad en el punto B, y . La observación anterior implica que para las dos regiones consideradas, aunque la ecuación para el momento flector y por lo tanto para la curvatura son diferentes, las constantes de integración obtenidas durante la integración sucesiva de la ecuación para la curvatura para las dos regiones son las mismas.
El argumento anterior es válido para cualquier número / tipo de discontinuidades en las ecuaciones de curvatura, siempre que en cada caso la ecuación conserve el término para la región subsiguiente en la forma etc. Debe recordarse que para cualquier x, dando las cantidades entre paréntesis, como en el caso anterior, debe despreciarse -ve, y los cálculos deben hacerse considerando solo las cantidades que dan el signo + ve para los términos dentro del soportes.
Volviendo al problema, tenemos
Es obvio que el primer término solo debe considerarse para y tanto los términos para y la solucion es
Tenga en cuenta que las constantes se colocan inmediatamente después del primer término para indicar que van con el primer término cuando y con ambos términos cuando . Los corchetes de Macaulay ayudan como recordatorio de que la cantidad de la derecha es cero cuando se consideran puntos con.
Condiciones de borde
Como a , . Tambien como a ,
o,
Por eso,
Deflexión máxima
Para ser máximo, . Suponiendo que esto suceda por tenemos
o
Claramente no puede ser una solución. Por lo tanto, la deflexión máxima está dada por
o,
Deflexión en el punto de aplicación de la carga
A , es decir, en el punto B, la deflexión es
o
Deflexión en el punto medio
Es instructivo examinar la proporción de . A
Por lo tanto,
dónde y para . Incluso cuando la carga está tan cerca como 0.05L del soporte, el error al estimar la deflexión es solo 2.6%. Por tanto, en la mayoría de los casos, la estimación de la deflexión máxima puede realizarse con bastante precisión con un margen de error razonable calculando la deflexión en el centro.
Caso especial de carga aplicada simétricamente
Cuándo , por ser máximo
y la deflexión máxima es
Referencias
- ^ WH Macaulay, "Una nota sobre la desviación de los rayos", Messenger of Mathematics, 48 (1919), 129.
- ^ JT Weissenburger, 'Integración de expresiones discontinuas que surgen en la teoría de vigas', AIAA Journal, 2 (1) (1964), 106-108.
- ^ WH Wittrick , "Una generalización del método de Macaulay con aplicaciones en mecánica estructural", AIAA Journal, 3 (2) (1965), 326-330.
- ^ A. Yavari, S. Sarkani y JN Reddy, 'Sobre vigas no uniformes de Euler-Bernoulli y Timoshenko con discontinuidades de salto: aplicación de la teoría de la distribución', International Journal of Solids and Structures, 38 (46-7) (2001), 8389- 8406.
- ^ A. Yavari, S. Sarkani y JN Reddy, 'Soluciones generalizadas de vigas con discontinuidades de salto sobre cimientos elásticos', Archivo de Mecánica Aplicada, 71 (9) (2001), 625-639.
- ^ Stephen, NG, (2002), "Método de Macaulay para una viga Timoshenko", Int. J. Mech. Engg. Educación, 35 (4), págs. 286-292.
- ^ El signo del lado izquierdo de la ecuación depende de la convención que se utilice. Para el resto de este artículo asumiremos que la convención de signos es tal que un signo positivo es apropiado.