La teoría de la viga de Timoshenko-Ehrenfest fue desarrollada por Stephen Timoshenko y Paul Ehrenfest [1] [2] [3] a principios del siglo XX. [4] [5] El modelo tiene en cuenta la deformación por cizallamiento y los efectos de flexión rotacional , lo que lo hace adecuado para describir el comportamiento de vigas gruesas, vigas compuestas tipo sándwich o vigas sujetas a excitación de alta frecuencia cuando la longitud de onda se acerca al espesor de la viga. . La ecuación resultante es de cuarto orden pero, a diferencia de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli, también hay una derivada parcial de segundo orden presente. Físicamente, teniendo en cuenta los mecanismos de deformación añadidos, se reduce efectivamente la rigidez de la viga, mientras que el resultado es una mayor deflexión bajo una carga estática y frecuencias propias previstas más bajas para un conjunto dado de condiciones de contorno. El último efecto es más notable para frecuencias más altas a medida que la longitud de onda se vuelve más corta (en principio comparable a la altura de la viga o más corta) y, por lo tanto, la distancia entre fuerzas cortantes opuestas disminuye.
Orientaciones de la línea perpendicular al plano medio de un libro de
bolsillo grueso bajo plegado.
El efecto de inercia rotatoria fue introducido por Bresse [6] y Rayleigh. [7]
Si el módulo de cortante del material de la viga se acerca al infinito, y por lo tanto la viga se vuelve rígida en cortante, y si se ignoran los efectos de la inercia rotacional, la teoría de la viga de Timoshenko converge hacia la teoría de la viga ordinaria.
Deformación de un haz de Timoshenko (azul) en comparación con el de un haz de Euler-Bernoulli (rojo).
Deformación de una viga de Timoshenko. Lo normal gira una cantidad
que no es igual a
.
En la teoría estática de la viga de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por
dónde son las coordenadas de un punto en la viga, son los componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga, y es el desplazamiento de la superficie media en el -dirección.
Las ecuaciones gobernantes son el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias :
La teoría de la viga de Timoshenko para el caso estático es equivalente a la teoría de Euler-Bernoulli cuando se desprecia el último término anterior, una aproximación que es válida cuando
dónde
- es la longitud de la viga.
- es el área de la sección transversal.
- es el módulo elástico .
- es el módulo de corte .
- es el segundo momento del área .
- , llamado coeficiente de corte de Timoshenko, depende de la geometría. Normalmente, para una sección rectangular.
- es una carga distribuida (fuerza por longitud).
La combinación de las dos ecuaciones da, para una viga homogénea de sección transversal constante,
El momento de flexión y la fuerza de corte en la viga están relacionados con el desplazamiento y la rotacion . Estas relaciones, para una viga Timoshenko elástica lineal, son:
Derivación de ecuaciones cuasiestáticas de vigas de Timoshenko |
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A partir de los supuestos cinemáticos para una viga de Timoshenko, los desplazamientos de la viga están dados por
Luego, a partir de las relaciones deformación-desplazamiento para deformaciones pequeñas, las deformaciones distintas de cero basadas en los supuestos de Timoshenko son
Dado que la deformación cortante real en la viga no es constante en la sección transversal, introducimos un factor de corrección tal que
La variación en la energía interna del haz es
Definir
Luego
Integración por partes, y observar que debido a las condiciones de contorno las variaciones son cero en los extremos de la viga, conduce a
La variación en el trabajo externo realizado en la viga por una carga transversal. por unidad de longitud es
Entonces, para una viga cuasiestática, el principio de trabajo virtual da
Las ecuaciones que gobiernan la viga son, del teorema fundamental del cálculo variacional,
Para una viga elástica lineal
Por lo tanto, las ecuaciones que gobiernan la viga pueden expresarse como
La combinación de las dos ecuaciones da
|
Condiciones de borde
Las dos ecuaciones que describen la deformación de una viga de Timoshenko deben aumentarse con condiciones de contorno si se van a resolver. Se necesitan cuatro condiciones de contorno para que el problema esté bien planteado . Las condiciones de contorno típicas son:
- Vigas simplemente apoyadas : el desplazamientoes cero en las ubicaciones de los dos soportes. El momento de flexión aplicado a la viga también debe especificarse. La rotacion y la fuerza de corte transversal no se especifican.
- Vigas sujetas : el desplazamiento y la rotacion se especifican como cero en el extremo sujeto. Si un extremo está libre, fuerza cortante y momento de flexión deben especificarse al final.
Ejemplo: viga en voladizo
Una viga Timoshenko en voladizo bajo una carga puntual en el extremo libre
Para una viga en voladizo , un límite está sujeto mientras que el otro está libre. Usemos un sistema de coordenadas diestro donde el dirección es positiva hacia la derecha y el la dirección es positiva hacia arriba. Siguiendo la convención normal, asumimos que las fuerzas positivas actúan en las direcciones positivas de la y los ejes y los momentos positivos actúan en el sentido de las agujas del reloj. También asumimos que la convención de signos de la tensión resultante ( y ) es tal que los momentos de flexión positivos comprimen el material en la parte inferior de la viga (inferior coordenadas) y fuerzas cortantes positivas rotan la viga en sentido antihorario.
Supongamos que el extremo sujetado está en y el final libre está en . Si una carga puntual se aplica al extremo libre en positivo dirección, un diagrama de cuerpo libre de la viga nos da
y
Por lo tanto, de las expresiones para el momento flector y la fuerza cortante, tenemos
Integración de la primera ecuación y aplicación de la condición de contorno a , lleva a
La segunda ecuación se puede escribir como
Integración y aplicación de la condición de contorno a da
La tensión axial está dada por
En la teoría de la viga de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que los desplazamientos de la viga están dados por
dónde son las coordenadas de un punto en la viga, son los componentes del vector de desplazamiento en las tres direcciones de coordenadas, es el ángulo de rotación de la normal a la superficie media de la viga, y es el desplazamiento de la superficie media en el -dirección.
Partiendo de la suposición anterior, la teoría de la viga de Timoshenko, que permite las vibraciones, puede describirse con las ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas : [8]
donde las variables dependientes son , el desplazamiento de traslación de la viga, y , el desplazamiento angular. Tenga en cuenta que, a diferencia de la teoría de Euler-Bernoulli , la deflexión angular es otra variable y no se aproxima por la pendiente de la deflexión. También,
- es la densidad del material de la viga (pero no la densidad lineal ).
- es el área de la sección transversal.
- es el módulo elástico .
- es el módulo de corte .
- es el segundo momento del área .
- , llamado coeficiente de corte de Timoshenko, depende de la geometría. Normalmente, para una sección rectangular.
- es una carga distribuida (fuerza por longitud).
Estos parámetros no son necesariamente constantes.
Para una viga elástica lineal, isotrópica y homogénea de sección transversal constante, estas dos ecuaciones se pueden combinar para dar [9] [10]
Derivación de la ecuación combinada de la viga de Timoshenko |
---|
Las ecuaciones que gobiernan la flexión de una viga de Timoshenko homogénea de sección transversal constante son
De la ecuación (1), asumiendo una suavidad apropiada, tenemos
La ecuación de diferenciación (2) da
Sustituyendo la ecuación (3), (4), (5) en la ecuación (6) y reordenando, obtenemos
|
La ecuación de Timoshenko predice una frecuencia crítica Para los modos normales, se puede resolver la ecuación de Timoshenko. Al ser una ecuación de cuarto orden, hay cuatro soluciones independientes, dos oscilatorias y dos evanescentes para las frecuencias inferiores. Para frecuencias mayores atodas las soluciones son oscilatorias y, como consecuencia, aparece un segundo espectro. [11]
Efectos axiales
Si los desplazamientos de la viga están dados por
dónde es un desplazamiento adicional en el -dirección, entonces las ecuaciones gobernantes de una viga de Timoshenko toman la forma
dónde y es una fuerza axial aplicada externamente. Cualquier fuerza axial externa se equilibra con la tensión resultante
dónde es la tensión axial y se ha supuesto que el espesor de la viga es .
La ecuación de la viga combinada con efectos de fuerza axial incluidos es
Mojadura
Si, además de las fuerzas axiales, asumimos una fuerza de amortiguación que es proporcional a la velocidad con la forma
las ecuaciones de gobierno acopladas para una viga de Timoshenko toman la forma
y la ecuación combinada se convierte en
Una advertencia a esta fuerza de amortiguación de Ansatz (que se asemeja a la viscosidad) es que, mientras que la viscosidad conduce a una tasa de amortiguación de las oscilaciones del haz dependiente de la frecuencia e independiente de la amplitud, las tasas de amortiguación medidas empíricamente no son sensibles a la frecuencia, pero dependen de la amplitud de la deflexión del haz. .
La determinación del coeficiente de corte no es sencilla (ni los valores determinados son ampliamente aceptados, es decir, hay más de una respuesta); generalmente debe satisfacer:
- .
El coeficiente de corte depende de la relación de Poisson . Los intentos de proporcionar expresiones precisas fueron realizados por muchos científicos, incluidos Stephen Timoshenko , [12] Raymond D. Mindlin , [13] GR Cowper, [14] NG Stephen, [15] JR Hutchinson [16], etc. derivación de la teoría de la viga de Timoshenko como una teoría de la viga refinada basada en el método asintótico-variacional en el libro de Khanh C. Le [17] que conduce a diferentes coeficientes de corte en los casos estático y dinámico). En la práctica de la ingeniería, las expresiones de Stephen Timoshenko [18] son suficientes en la mayoría de los casos. En 1975 Kaneko [19] publicó una excelente revisión de estudios sobre el coeficiente de corte. Más recientemente, nuevos datos experimentales muestran que el coeficiente de corte está subestimado. [20] [21]
Según Cowper (1966) para secciones transversales rectangulares sólidas,
y para secciones transversales circulares macizas,
dónde es la razón de Poisson.