Función de singularidad

Clase de funciones discontinuas

Las funciones de singularidad son una clase de funciones discontinuas que contienen singularidades , es decir, son discontinuas en sus puntos singulares. Las funciones de singularidad se han estudiado intensamente en el campo de las matemáticas bajo los nombres alternativos de funciones generalizadas y teoría de la distribución . ^{[1] [2] [3]} Las funciones se anotan entre corchetes, donde n es un número entero. Los " " a menudo se denominan corchetes de singularidad . Las funciones se definen como:${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}$${\displaystyle \langle \rangle }$

norte	${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}$
${\displaystyle <0}$	${\displaystyle {\frac {d^{|n+1|}}{dx^{|n+1|}}}\delta (x-a)\,}$
-2	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\delta (x-a)\,}$
-1	${\displaystyle \delta (x-a)\,}$
0	${\displaystyle H(x-a)\,}$
1	${\displaystyle (x-a)H(x-a)\,}$
2	${\displaystyle (x-a)^{2}H(x-a)}$
${\displaystyle \geq 0}$	${\displaystyle (x-a)^{n}H(x-a)}$

donde: δ (x) es la función delta de Dirac , también llamada impulso unitario. La primera derivada de δ (x) también se llama doblete unitario . La función es la función escalón de Heaviside : H (x) = 0 para x <0 y H (x) = 1 para x> 0. El valor de H (0) dependerá de la convención particular elegida para la función escalón Heaviside. Tenga en cuenta que esto solo será un problema para n = 0 ya que las funciones contienen un factor multiplicativo de xa para n> 0. también se denomina función Rampa .${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{1}}$

Integración

La integración se puede hacer de una manera conveniente en la que la constante de integración se incluye automáticamente, por lo que el resultado será 0 en x = a.${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n}}$

${\displaystyle \int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n<0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}}$

Ejemplo de cálculo de haz

La deflexión de una viga simplemente apoyada como se muestra en el diagrama, con sección transversal y módulo elástico constantes, se puede encontrar usando la teoría de la viga de Euler-Bernoulli . Aquí estamos usando la convención de signos de fuerzas descendentes y momentos de flexión hundidos que son positivos.

Distribución de la carga:

${\displaystyle w=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{-1}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{0}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{-1}\,}$

Fuerza de corte:

${\displaystyle S=\int w\,dx}$

${\displaystyle S=-3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{0}\ +\ 6{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{1}\ -\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{0}\,}$

Momento de flexión:

${\displaystyle M=-\int S\,dx}$

${\displaystyle M=3{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{1}\ -\ 3{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ 9{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{1}\,}$

Pendiente:

${\displaystyle u'={\frac {1}{EI}}\int M\,dx}$

Como la pendiente no es cero en x  = 0 , se suma una constante de integración, c

${\displaystyle u'={\frac {1}{EI}}\left({\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{2}\ -\ 1{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ {\frac {9}{2}}{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{2}\ +\ c\right)\,}$

Desviación:

${\displaystyle u=\int u'\,dx}$

${\displaystyle u={\frac {1}{EI}}\left({\frac {1}{2}}{\text{ N}}\langle x-0\rangle ^{3}\ -\ {\frac {1}{4}}{\text{ Nm}}^{-1}\langle x-2{\text{ m}}\rangle ^{4}\ +\ {\frac {3}{2}}{\text{ N}}\langle x-4{\text{ m}}\rangle ^{3}\ +\ cx\right)\,}$

La condición de frontera u  = 0 en x  = 4 m nos permite resolver para c  = −7 Nm ²

Ver también

• Soportes Macaulay
• El método de Macaulay

Referencias

1. Zemanian, AH (1965), Teoría de la distribución y análisis de transformación , McGraw-Hill Book Company
2. Hoskins, RF (1979), Funciones generalizadas , Halsted Press
3. Lighthill, MJ (1958), Análisis de Fourier y funciones generalizadas , Cambridge University Press

enlaces externos

• Funciones de singularidad (Tim Lahey)
• Funciones de singularidad (J. Lubliner, Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental)
• Vigas: deformación por funciones de singularidad (Dr. Ibrahim A. Assakkaf)