Las ecuaciones de Madelung , o las ecuaciones de la hidrodinámica cuántica , son la formulación alternativa equivalente de Erwin Madelung de la ecuación de Schrödinger , escrita en términos de variables hidrodinámicas, similar a las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes . La derivación de las ecuaciones de Madelung es similar a la formulación de De Broglie-Bohm , que representa la ecuación de Schrödinger como una ecuación cuántica de Hamilton-Jacobi .
Ecuaciones
Las ecuaciones de Madelung [1] son ecuaciones cuánticas de Euler : [2]
dónde
- es la velocidad del flujo ,
- es la densidad de masa,
- es el potencial cuántico de Bohm ,
- V es el potencial de la ecuación de Schrödinger.
La circulación del campo de velocidad de flujo a lo largo de cualquier camino cerrado obedece a la condición auxiliar, . [3]
Las ecuaciones de Madelung se derivan escribiendo la función de onda en forma polar:
y sustituyendo esta forma en la ecuación de Schrödinger
La velocidad del flujo se define por
de donde también encontramos que
dónde es la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica estándar.
La fuerza cuántica , que es el negativo del gradiente del potencial cuántico, también se puede escribir en términos del tensor de presión cuántica:
dónde
La energía integral almacenada en el tensor de presión cuántica es proporcional a la información de Fisher , que explica la calidad de las mediciones. Por lo tanto, de acuerdo con el límite de Cramér-Rao , el principio de incertidumbre de Heisenberg es equivalente a una desigualdad estándar para la eficiencia de las mediciones. La definición termodinámica del potencial químico cuántico
se deduce del balance de fuerza hidrostático anterior:
Según la termodinámica, en equilibrio el potencial químico es constante en todas partes, lo que corresponde directamente a la ecuación estacionaria de Schrödinger. Por tanto, los valores propios de la ecuación de Schrödinger son energías libres, que difieren de las energías internas del sistema. La energía interna de la partícula se calcula como
y está relacionado con la corrección local de Carl Friedrich von Weizsäcker . [4] En el caso de un oscilador armónico cuántico, por ejemplo, se puede mostrar fácilmente que la energía del punto cero es el valor del potencial químico del oscilador, mientras que la energía interna del oscilador es cero en el estado fundamental,. Por lo tanto, la energía del punto cero representa la energía para colocar un oscilador estático en el vacío, lo que muestra nuevamente que las fluctuaciones del vacío son la razón de la mecánica cuántica.
Ver también
Referencias
- ^ Madelung, E. (1926). "Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger". Naturwissenschaften (en alemán). 14 (45): 1004–1004. Bibcode : 1926NW ..... 14.1004M . doi : 10.1007 / BF01504657 .
- ^ Madelung, E. (1927). "Quantentheorie en forma hidrodinámica". Z. Phys. (en alemán). 40 (3–4): 322–326. Código Bibliográfico : 1927ZPhy ... 40..322M . doi : 10.1007 / BF01400372 .
- ^ I. Bialynicki-Birula; M. Cieplak; J. Kaminski (1992), Teoría de los cuantos , Oxford University Press, ISBN 0195071573.
- ^ Tsekov, R. (2009). "Teoría funcional disipativa de la densidad dependiente del tiempo". Revista Internacional de Física Teórica . 48 : 2660–2664. arXiv : 0903.3644 . Código Bibliográfico : 2009IJTP ... 48.2660T . doi : 10.1007 / s10773-009-0054-6 .
Otras lecturas
- Schönberg, M. (1954). "Sobre el modelo hidrodinámico de la mecánica cuántica". Il Nuovo Cimento . 12 (1): 103-133. Código Bibliográfico : 1954NCim ... 12..103S . doi : 10.1007 / BF02820368 .