La helicidad magnética es una cantidad que se encuentra en el contexto de la magnetohidrodinámica . Cuantifica los aspectos topológicos de las líneas del campo magnético: cuánto están unidas, retorcidas, retorcidas y anudadas. [1] [2] Cuando la resistividad eléctrica de un sistema es cero, su helicidad magnética total se conserva (es un invariante cuadrático ideal [3] [4] ). Cuando un campo magnético contiene helicidad magnética, tiende a formar estructuras a gran escala a partir de estructuras a pequeña escala. [5] Este proceso puede denominarse transferencia inversa en el espacio de Fourier .
Esta segunda propiedad hace que la helicidad magnética sea especial: los flujos turbulentos tridimensionales tienden a "destruir" la estructura, en el sentido de que los vórtices a gran escala se rompen en otros cada vez más pequeños (un proceso llamado "cascada de energía directa" , descrito por Lewis Fry Richardson y Andrey Nikolaevich Kolmogorov ). En las escalas más pequeñas, los vórtices se disipan en calor a través de efectos viscosos . A través de una especie de "cascada inversa de helicidad magnética", ocurre lo contrario: pequeñas estructuras helicoidales (con una helicidad magnética distinta de cero) conducen a la formación de campos magnéticos a gran escala. Esto es, por ejemplo, visible en la hoja de corriente heliosférica [6] , una gran estructura magnética en nuestro sistema solar.
La helicidad magnética es de gran relevancia en varios sistemas astrofísicos, donde la resistividad es típicamente muy baja, por lo que la helicidad magnética se conserva en una muy buena aproximación. Por ejemplo: la dinámica de la helicidad magnética es importante en las erupciones solares y las eyecciones de masa coronal . [7] La helicidad magnética está presente en el viento solar . [8] Su conservación es muy importante en los procesos de dinamo . [9] [10] [11] [12] También juega un papel en la investigación de la fusión , por ejemplo, en experimentos de pellizco de campo inverso . [13]
Definición matemática
La helicidad de un campo vectorial suave definido en un dominio en el espacio 3D es la medida estándar de la medida en que las líneas de campo se envuelven y se enrollan entre sí. [14] [2] Se define como la integral de volumen del producto escalar dey su rizo :
- ,
dónde es el elemento diferencial de volumen para la integral de volumen, teniendo lugar la integración sobre todo el dominio considerado.
En cuanto a la helicidad magnética , es la helicidad del potencial del vector magnético , tal que es el campo magnético : [9]
- .
La helicidad magnética tiene unidades de Wb 2 ( webers al cuadrado) en unidades SI y Mx 2 ( maxwells al cuadrado) en unidades gaussianas . [15]
La helicidad magnética no debe confundirse con la helicidad del campo magnético. , con la corriente. Esta cantidad se denomina " helicidad actual ". [16] Contrariamente a la helicidad magnética, la helicidad actual no es una invariante ideal (no se conserva incluso cuando la resistividad eléctrica es cero).
Dado que el potencial del vector magnético no es invariante de calibre, la helicidad magnética tampoco es invariante de calibre en general. Como consecuencia, no se puede medir directamente la helicidad magnética de un sistema físico. En ciertas condiciones y bajo ciertos supuestos, sin embargo, se puede medir la helicidad actual de un sistema y, a partir de él, cuando se cumplen más condiciones y bajo supuestos adicionales, deducir la helicidad magnética. [17]
Interpretación topológica
El nombre "helicidad" se basa en el hecho de que la trayectoria de una partícula de fluido en un fluido con velocidad y vorticidad forma una hélice en regiones donde la helicidad cinética . Cuándo, la hélice es diestra y cuando es zurdo. Este comportamiento es muy similar para las líneas de campo magnético.
Las regiones donde la helicidad magnética no es cero también pueden contener otros tipos de estructuras magnéticas como líneas de campo magnético helicoidal. La helicidad magnética es de hecho una generalización del concepto topológico de vincular el número a las cantidades diferenciales requeridas para describir el campo magnético. [6] El número de enlace describe la cantidad de líneas de campo magnético que están interconectadas (ver [9] para una prueba matemática de ello). A través de un simple experimento con papel y tijeras, se puede demostrar que las líneas de campo magnético que giran entre sí pueden considerarse interconectadas (figura 5 en [9] ). Por lo tanto, la presencia de helicidad magnética se puede interpretar como líneas de campo magnético helicoidal, estructuras magnéticas interconectadas, pero también líneas de campo magnético girando entre sí.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Circular_DNA_Supercoiling.png/220px-Circular_DNA_Supercoiling.png)
Las líneas de campo magnético que se giran entre sí pueden adoptar varias formas. Consideremos, por ejemplo, un conjunto de líneas de campo magnético giratorias en una vecindad cercana, que forma un llamado " tubo de flujo magnético " (vea la figura para una ilustración).
" Twist " significa que el tubo de flujo gira alrededor de su propio eje (figuras con Twist =). Hablando Topológicamente, las unidades de torsión y de writhe (lo que significa, la rotación del tubo de flujo propio eje - figuras con Writhe =) pueden transformarse entre sí. También se puede demostrar que los nudos también son equivalentes a unidades de torsión y / o retorcimiento. [2]
Como ocurre con muchas cantidades en electromagnetismo, la helicidad magnética (que describe las líneas de campo magnético) está estrechamente relacionada con la helicidad mecánica de los fluidos (que describe las líneas de flujo de fluidos) y sus dinámicas están interrelacionadas. [5] [18]
Invariancia cuadrática ideal
A finales de la década de 1950, Lodewijk Woltjer y Walter M. Elsässer descubrieron de forma independiente la invariancia ideal de la helicidad magnética, [4] [3] es decir, su conservación en caso de resistividad cero. La prueba de Woltjer, válida para un sistema cerrado, se repite a continuación:
En el MHD ideal , el campo magnético y la evolución temporal del potencial del vector magnético se rigen por:
donde la segunda ecuación se obtiene "desenrollando" la primera y es un potencial escalar dado por la condición del calibre (ver el párrafo sobre consideración del calibre ). Elegir el medidor para que el potencial escalar se desvanezca (= 0), la evolución temporal de la helicidad magnética viene dada por:
.
La primera integral es cero ya que es ortogonal al producto cruzado . La segunda integral se puede integrar por partes, dando:
La primera integral se realiza sobre todo el volumen y es cero porque como está escrito arriba. La segunda integral corresponde a la integral de superficie sobre, los límites del sistema cerrado. Es cero porque los movimientos dentro del sistema cerrado no pueden afectar el potencial vectorial exterior, de modo que en la superficie límite, ya que el potencial del vector magnético es una función continua.
En todas las situaciones en las que la helicidad magnética es invariante en cuanto al calibre (consulte el párrafo siguiente), la helicidad magnética se conserva idealmente sin la necesidad de una elección de calibre específica .
La helicidad magnética permanece conservada en una buena aproximación incluso con una resistividad pequeña pero finita, en cuyo caso la reconexión magnética disipa la energía . [6] [9]
Propiedad de transferencia inversa
Las estructuras helicoidales a pequeña escala tienden a formar estructuras magnéticas cada vez más grandes. Esto se puede llamar una transferencia inversa en el espacio de Fourier, a diferencia de la cascada de energía (directa) en los flujos hidrodinámicos turbulentos tridimensionales. La posibilidad de tal transferencia inversa fue propuesta por primera vez por Uriel Frisch y colaboradores [5] y ha sido verificada a través de muchos experimentos numéricos. [19] [20] [21] [22] [23] [24] Como consecuencia, la presencia de helicidad magnética es una posibilidad para explicar la existencia y el sostenimiento de estructuras magnéticas a gran escala en el Universo.
Aquí se repite un argumento para esta transferencia inversa tomado de [5] , que se basa en la llamada "condición de realizabilidad" en el espectro de Fourier de helicidad magnética (dónde es el coeficiente de Fourier en el vector de onda del campo magnético , y de manera similar para , la estrella que denota el complejo conjugado ). La "condición de realizabilidad" corresponde a una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que arroja:
,
con el espectro de energía magnética. Para obtener esta desigualdad, el hecho de que (con la parte solenoidal del potencial del vector magnético transformado de Fourier, ortogonal al vector de onda en el espacio de Fourier), ya que. El factor 2 no está presente en el artículo [5] ya que la helicidad magnética se define allí alternativamente como.
Entonces uno puede imaginar una situación inicial sin campo de velocidad y un campo magnético solo presente en dos vectores de onda y . Asumimos un campo magnético completamente helicoidal, lo que significa que satura la condición de realizabilidad: y . Suponiendo que todas las transferencias de energía y helicidad magnética se realizan a otro vector de onda, la conservación de la helicidad magnética por un lado y de la energía total (la suma de (m) energía agnética y (k) inética) por otro lado da:
La segunda igualdad para la energía proviene del hecho de que consideramos un estado inicial sin energía cinética. Entonces tenemos necesariamente. De hecho, si tuviéramos, luego:
que rompería la condición de realizabilidad. Esto significa que. En particular, para, la helicidad magnética se transfiere a un vector de onda más pequeño, lo que significa a escalas más grandes.
Consideraciones de calibre
La helicidad magnética es una cantidad dependiente del calibre, porque se puede redefinir añadiéndole un degradado ( elección de calibre ). Sin embargo, para los límites perfectamente conductores o los sistemas periódicos sin un flujo magnético neto, la helicidad magnética contenida en todo el dominio es invariante de calibre, [16] es decir, independiente de la elección de calibre. Se ha definido una helicidad relativa invariante de calibre para volúmenes con flujo magnético distinto de cero en sus superficies de contorno. [6]
Ver también
- Teorema de Woltjer
Referencias
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enlaces externos
- Página de helicópteros de AA Pevtsov
- Página de publicaciones de Mitch Berger