En la mecánica del continuo , la vorticidad es un campo pseudovectorial que describe el movimiento giratorio local de un continuo cerca de algún punto (la tendencia de algo a rotar [1] ), como lo vería un observador ubicado en ese punto y viajando junto con el flujo. . Es una cantidad importante en la teoría dinámica de los fluidos y proporciona un marco conveniente para comprender una variedad de fenómenos de flujo complejos, como la formación y el movimiento de los anillos de vórtice . [2] [3]
Matemáticamente, la vorticidad es el rizo de la velocidad del flujo : [4] [3]
dónde es el operador del . Conceptualmentepodría determinarse marcando partes de un continuo en un pequeño vecindario del punto en cuestión y observando sus desplazamientos relativos a medida que avanzan a lo largo del flujo. La vorticidadsería el doble del vector de velocidad angular media de esas partículas en relación con su centro de masa , orientado de acuerdo con la regla de la mano derecha .
En un flujo bidimensional ,es siempre perpendicular al plano del flujo y, por tanto, puede considerarse un campo escalar .
Ejemplos de
En una masa de continuo que gira como un cuerpo rígido, la vorticidad es el doble del vector de velocidad angular de esa rotación. Este es el caso, por ejemplo, en el núcleo central de un vórtice Rankine . [5]
La vorticidad puede ser distinta de cero incluso cuando todas las partículas fluyen a lo largo de líneas de trayectoria rectas y paralelas , si hay cizallamiento (es decir, si la velocidad del flujo varía a lo largo de las líneas de corriente ). Por ejemplo, en el flujo laminar dentro de una tubería con sección transversal constante , todas las partículas viajan paralelas al eje de la tubería; pero más rápido cerca de ese eje y prácticamente inmóvil junto a las paredes. La vorticidad será cero en el eje y máxima cerca de las paredes, donde la cizalladura es mayor.
Por el contrario, un flujo puede tener una vorticidad nula aunque sus partículas viajen a lo largo de trayectorias curvas. Un ejemplo es el vórtice de irritación ideal , donde la mayoría de las partículas giran alrededor de algún eje recto, con una velocidad inversamente proporcional a sus distancias a ese eje. Una pequeña parcela de continuo que no se extiende a horcajadas sobre el eje se rotará en un sentido pero se cortará en el sentido opuesto, de tal manera que su velocidad angular media alrededor de su centro de masa sea cero.
Flujos de ejemplo: Vórtice de cuerpo rígido
v ∝ rFlujo paralelo con cizalla Vórtice de irritación
v ∝1/rdonde v es la velocidad del flujo, r es la distancia al centro del vórtice y ∝ indica proporcionalidad .
Velocidades absolutas alrededor del punto resaltado:Velocidades relativas (ampliadas) alrededor del punto resaltado Vorticidad ≠ 0 Vorticidad ≠ 0 Vorticidad = 0
Otra forma de visualizar la vorticidad es imaginar que, instantáneamente, una pequeña parte del continuo se vuelve sólida y el resto del flujo desaparece. Si esa pequeña partícula sólida nueva está girando, en lugar de simplemente moverse con el flujo, entonces hay vorticidad en el flujo. En la figura siguiente, la subfigura de la izquierda no demuestra vorticidad y la subfigura de la derecha demuestra la existencia de vorticidad.
Definición matemática
Matemáticamente, la vorticidad de un flujo tridimensional es un campo pseudovectorial, generalmente denotado por , definido como el rizo del campo de velocidaddescribiendo el movimiento continuo. En coordenadas cartesianas :
En palabras, la vorticidad dice cómo cambia el vector de velocidad cuando uno se mueve una distancia infinitesimal en una dirección perpendicular a él.
En un flujo bidimensional donde la velocidad es independiente de la -coordinado y no tiene -componente, el vector de vorticidad es siempre paralelo al -eje, y por lo tanto se puede expresar como un campo escalar multiplicado por un vector unitario constante :
La vorticidad también está relacionada con el flujo de circulación (línea integral de la velocidad) a lo largo de una trayectoria cerrada por el (clásico) de Stokes teorema . Es decir, para cualquier elemento de superficie infinitesimal C con dirección normal y area , la circulacion a lo largo del perímetro dees el producto escalar dónde es la vorticidad en el centro de . [6]
Evolución
La evolución del campo de vorticidad en el tiempo se describe mediante la ecuación de vorticidad , que puede derivarse de las ecuaciones de Navier-Stokes . [7]
En muchos flujos reales en los que se puede despreciar la viscosidad (más precisamente, en flujos con un número de Reynolds alto ), el campo de vorticidad se puede modelar mediante una colección de vórtices discretos, siendo la vorticidad insignificante en todas partes excepto en pequeñas regiones del espacio que rodean los ejes de los vórtices. Esto es cierto en el caso de flujo potencial bidimensional (es decir, flujo bidimensional de viscosidad cero), en cuyo caso el campo de flujo puede modelarse como un campo de valor complejo en el plano complejo .
La vorticidad es útil para comprender cómo se pueden perturbar las soluciones de flujo potenciales ideales para modelar flujos reales. En general, la presencia de viscosidad provoca una difusión de la vorticidad desde los núcleos de vórtice hacia el campo de flujo general; este flujo se explica por un término de difusión en la ecuación de transporte de vorticidad. [8]
Líneas de vórtice y tubos de vórtice
Una línea de vórtice o línea de vorticidad es una línea que está en todas partes tangente al vector de vorticidad local. Las líneas de vórtice se definen por la relación [9]
dónde es el vector de vorticidad en coordenadas cartesianas .
Un tubo de vórtice es la superficie en el continuo formado por todas las líneas de vórtice que pasan a través de una curva cerrada dada (reducible) en el continuo. La 'fuerza' de un tubo de vórtice (también llamado flujo de vórtice ) [10] es la integral de la vorticidad a través de una sección transversal del tubo, y es la misma en todas partes a lo largo del tubo (porque la vorticidad tiene divergencia cero). Es una consecuencia de los teoremas de Helmholtz (o de manera equivalente, del teorema de la circulación de Kelvin ) que en un fluido no viscoso la "fuerza" del tubo de vórtice también es constante con el tiempo. Los efectos viscosos introducen pérdidas por fricción y dependencia del tiempo. [11]
En un flujo tridimensional, la vorticidad (medida por la integral de volumen del cuadrado de su magnitud) puede intensificarse cuando se extiende una línea de vórtice, un fenómeno conocido como estiramiento de vórtice . [12] Este fenómeno ocurre en la formación de un vórtice de bañera en el agua que fluye y la acumulación de un tornado por corrientes de aire ascendentes.
Medidores de vorticidad
Medidor de vorticidad de paletas giratorias
Un medidor de vorticidad de paletas rotativas fue inventado por el ingeniero hidráulico ruso A. Ya. Milovich (1874-1958). En 1913 propuso un corcho con cuatro palas adjuntas como un dispositivo que mostraba cualitativamente la magnitud de la proyección vertical de la vorticidad y demostró una fotografía en movimiento del movimiento del flotador en la superficie del agua en un modelo de un recodo de un río. [13]
Los medidores de vorticidad de paletas rotativas se muestran comúnmente en películas educativas sobre mecánica continua (ejemplos famosos incluyen "Vorticidad" [14] y "Principios fundamentales de flujo" del NCFMF por el Instituto de Investigación Hidráulica de Iowa [15] ).
Ciencias específicas
Aeronáutica
En aerodinámica , la distribución de sustentación sobre un ala finita puede aproximarse asumiendo que cada segmento del ala tiene un vórtice de arrastre semi-infinito detrás de él. Entonces es posible resolver la fuerza de los vórtices usando el criterio de que no haya flujo inducido a través de la superficie del ala. Este procedimiento se denomina método de panel de vórtices de dinámica de fluidos computacional . A continuación, se suman las fuerzas de los vórtices para encontrar la circulación aproximada total alrededor del ala. Según el teorema de Kutta-Joukowski , la sustentación es el producto de la circulación, la velocidad del aire y la densidad del aire.
Ciencias atmosféricas
La vorticidad relativa es la vorticidad relativa a la Tierra inducida por el campo de velocidad del aire. Este campo de velocidad del aire a menudo se modela como un flujo bidimensional paralelo al suelo, de modo que el vector de vorticidad relativa es generalmente una cantidad de rotación escalar perpendicular al suelo. La vorticidad es positiva cuando, mirando hacia la superficie de la tierra, el viento gira en sentido antihorario. En el hemisferio norte, la vorticidad positiva se denomina rotación ciclónica y la vorticidad negativa es rotación anticiclónica ; la nomenclatura se invierte en el hemisferio sur.
La vorticidad absoluta se calcula a partir de la velocidad del aire relativa a un marco inercial y, por lo tanto, incluye un término debido a la rotación de la Tierra, el parámetro de Coriolis .
La vorticidad potencial es la vorticidad absoluta dividida por el espacio vertical entre los niveles de temperatura (o entropía ) constante (potencial ). La vorticidad absoluta de una masa de aire cambiará si la masa de aire se estira (o comprime) en la dirección vertical, pero la vorticidad potencial se conserva en un flujo adiabático . Como el flujo adiabático predomina en la atmósfera, la vorticidad potencial es útil como un trazador aproximado de las masas de aire en la atmósfera en una escala de tiempo de unos pocos días, particularmente cuando se observa en niveles de entropía constante.
La ecuación de vorticidad barotrópica es la forma más sencilla de pronosticar el movimiento de las ondas de Rossby (es decir, los valles y crestas de 500 hPa de altura geopotencial ) durante un período de tiempo limitado (unos pocos días). En la década de 1950, los primeros programas exitosos de predicción meteorológica numérica utilizaron esa ecuación.
En los modelos modernos de predicción meteorológica numérica y los modelos de circulación general (GCM), la vorticidad puede ser una de las variables predichas, en cuyo caso la correspondiente ecuación dependiente del tiempo es una ecuación de pronóstico .
Relacionado con el concepto de vorticidad está la helicidad , definido como
donde la integral está sobre un volumen dado . En la ciencia atmosférica, la helicidad del movimiento del aire es importante para pronosticar supercélulas y el potencial de actividad tornádica . [dieciséis]
Ver también
- Ecuación de vorticidad barotrópica
- La paradoja de D'Alembert
- Enstrofia
- Potencial de velocidad
- Vórtice
- Tubo de vórtice
- Estiramiento de vórtice
- Vórtice de herradura
- Vórtices de punta de ala
Dinámica de fluidos
- Ley de Biot-Savart
- Circulación
- Ecuaciones de vorticidad
- Teorema de Kutta-Joukowski
Ciencias atmosféricas
- Ecuación de pronóstico
- Carl-Gustaf Rossby
- Hans Ertel
Referencias
- ^ Notas de la conferencia de la Universidad de Washington Archivado el 16 de octubre de 2015 en la Wayback Machine.
- ^ Moffatt, HK (2015), "Fluid Dynamics", en Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, págs. 467–476
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- ^ Acheson (1990), p. 15
- ^ Clancy, LJ, Aerodinámica , Sección 7.11
- ^ Guyon, et al (2001), págs. 289-290
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- ^ Kundu P y Cohen I. Mecánica de fluidos .
- ^ Introducción a la dinámica de gas astrofísica Archivado el 14 de junio de 2011 en la Wayback Machine.
- ^ GK Batchelor, Introducción a la dinámica de fluidos (1967), Sección 2.6, Cambridge University Press ISBN 0521098173
- ^ Batchelor, sección 5.2
- ^ Joukovsky NE (1914). "Sobre el movimiento del agua en la vuelta de un río". Matematicheskii Sbornik . 28 .. Reimpreso en: Obras completas . 4 . Moscú; Leningrado. 1937. págs. 193–216, 231–233 (resumen en inglés). "El flotador del profesor Milovich", como Joukovsky se refiere a este medidor de vorticidad, se muestra esquemáticamente en la figura de la página 196 de Obras completas.
- ^ Comité Nacional de Películas de Mecánica de Fluidos Archivado el 21 de octubre de 2016 en la Wayback Machine.
- ^ Películas de Hunter Rouse - IIHR - Hydroscience & Engineering Archivado el 21 de abril de 2016 en la Wayback Machine.
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Bibliografía
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Otras lecturas
- Ohkitani, K., " Cuenta elemental de vorticidad y ecuaciones relacionadas ". Prensa de la Universidad de Cambridge. 30 de enero de 2005. ISBN 0-521-81984-9
- Chorin, Alexandre J. , " Vorticidad y turbulencia ". Ciencias Matemáticas Aplicadas, Vol 103, Springer-Verlag. 1 de marzo de 1994. ISBN 0-387-94197-5
- Majda, Andrew J. , Andrea L. Bertozzi, " Vorticidad y flujo incompresible ". Prensa de la Universidad de Cambridge; 2002. ISBN 0-521-63948-4
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W., " Vorticidad ". Scienceworld.wolfram.com.
- Doswell III, Charles A., " Introducción a la vorticidad para su aplicación en supercélulas y tornados ". Instituto Cooperativo de Estudios Meteorológicos de Mesoescala, Norman, Oklahoma.
- Cramer, MS, " Ecuaciones de Navier-Stokes - Teoremas del transporte de vorticidad : Introducción ". Fundamentos de la Mecánica de Fluidos.
- Parker, Douglas, " ENVI 2210 - Atmósfera y dinámica oceánica, 9: Vorticidad ". Escuela de Medio Ambiente, Universidad de Leeds. Septiembre de 2001.
- Graham, James R. , " Astronomía 202: Dinámica de gas astrofísica ". Departamento de Astronomía, UC Berkeley .
- " La ecuación de la vorticidad: fluidos incompresibles y barotrópicos ".
- " Interpretación de la ecuación de vorticidad ".
- " Teorema de la vorticidad de Kelvin para flujo barotrópico o incompresible ".
- " Spherepack 3.1 ". (incluye una colección del programa de vorticidad FORTRAN)
- " Predicciones del modelo en tiempo real de la comunidad compresible de mesoescala (MC2) [ enlace muerto permanente ] ". (Análisis de vorticidad potencial)