En matemáticas , la conjetura de Manin describe la distribución conjetural de puntos racionales en una variedad algebraica relativa a una función de altura adecuada . Fue propuesto por Yuri I. Manin y sus colaboradores [1] en 1989 cuando iniciaron un programa con el objetivo de describir la distribución de puntos racionales sobre variedades algebraicas adecuadas.
Conjetura
Su principal conjetura es la siguiente. Dejarser una variedad Fano definida sobre un campo numérico , dejar ser una función de altura que es relativa al divisor anticanónico y asumir quees Zariski denso en. Entonces existe un subconjunto abierto de Zariski no vacío tal que la función de conteo de -puntos racionales de altura acotada, definidos por
por , satisface
como Aquí es el rango del grupo Picard de y es una constante positiva que luego recibió una interpretación conjetural de Peyre. [2]
La conjetura de Manin se ha decidido para familias especiales de variedades, [3] pero todavía está abierta en general.
Referencias
- ^ Franke, J .; Manin, YI ; Tschinkel, Y. (1989). "Puntos racionales de altura acotada en variedades Fano". Inventiones Mathematicae . 95 (2): 421–435. doi : 10.1007 / bf01393904 . Señor 0974910 . Zbl 0674.14012 .
- ^ Peyre, E. (1995). "Hauteurs et mesures de Tamagawa sur les variétés de Fano". Diario de matemáticas de Duke . 79 (1): 101–218. doi : 10.1215 / S0012-7094-95-07904-6 . Señor 1340296 . Zbl 0901.14025 .
- ^ Browning, TD (2007). "Una visión general de la conjetura de Manin para las superficies del Pezzo". En Duke, William (ed.). Teoría analítica de números. Un homenaje a Gauss y Dirichlet. Actas de la conferencia Gauss-Dirichlet, Göttingen, Alemania, 20-24 de junio de 2005 . Teoría analítica de números, Clay Math. Proc . Actas de Clay Mathematics. 7 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 39–55. ISBN 978-0-8218-4307-9. Señor 2362193 . Zbl 1134.14017 .