La desigualdad de Markov da un límite superior para la medida del conjunto (indicado en rojo) donde excede un nivel dado . El límite combina el nivel con el valor medio de .
La desigualdad de Markov (y otras desigualdades similares) relacionan las probabilidades con las expectativas y proporcionan límites (con frecuencia imprecisos pero útiles) para la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria.
Si X es una variable aleatoria no negativa y a > 0 , entonces la probabilidad de que X sea al menos a es como máximo la expectativa de X dividida por a : [1]
Let (donde ); entonces podemos reescribir la desigualdad anterior como
Versión extendida para funciones que aumentan monótonamente
Si φ es una función no negativa que aumenta monótonamente para los reales no negativos, X es una variable aleatoria, a ≥ 0 , y φ ( a )> 0 , entonces
Un corolario inmediato, utilizando momentos más altos de X apoyados en valores mayores que 0, es
Pruebas
Separamos el caso en el que el espacio de medida es un espacio de probabilidad del caso más general porque el caso de probabilidad es más accesible para el lector general.
Intuición
donde es mayor que 0 ya que rv no es negativo y es mayor que porque la expectativa condicional solo toma en cuenta valores mayores que los que rv puede tomar.
De ahí intuitivamente , lo que conduce directamente a .
Demostración de la teoría de la probabilidad
Método 1:
De la definición de expectativa:
Sin embargo, X es una variable aleatoria no negativa, por lo tanto,
De esto podemos derivar,
Desde aquí, dividir por nos permite ver que
Método 2:
Para cualquier evento , sea la variable aleatoria del indicador de , es decir, si ocurre y de lo contrario.
Usando esta notación, tenemos si el evento ocurre y si . Entonces, dado ,
lo cual es claro si consideramos los dos posibles valores de . Si , entonces y así . De lo contrario, tenemos , para cuál y así .
Dado que es una función que aumenta monótonamente, asumir la expectativa de ambos lados de una desigualdad no puede revertirla. Por lo tanto,
Ahora, usando la linealidad de las expectativas, el lado izquierdo de esta desigualdad es el mismo que
Así tenemos
y como a > 0, podemos dividir ambos lados por a .
Prueba de la teoría de la medida
Podemos suponer que la función no es negativa, ya que solo su valor absoluto entra en la ecuación. Ahora, considere la función de valor real s en X dada por
y como , ambos lados se pueden dividir por , obteniendo
Corolarios
La desigualdad de Chebyshev
La desigualdad de Chebyshev usa la varianza para acotar la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe mucho de la media. Específicamente,
para cualquier a > 0 . Aquí Var ( X ) es la varianza de X, definida como:
La desigualdad de Chebyshev se deriva de la desigualdad de Markov al considerar la variable aleatoria
y la constante para la cual la desigualdad de Markov se lee
Este argumento se puede resumir (donde "MI" indica el uso de la desigualdad de Markov):
Otros corolarios
El resultado "monótono" se puede demostrar mediante:
El resultado de que, para una variable aleatoria no negativa X , la función cuantil de X satisface:
la prueba usando
Sea una variable aleatoria autoadjunta con valores de matriz y a > 0 . Luego
se puede mostrar de manera similar.
Ejemplos de
Suponiendo que ningún ingreso es negativo, la desigualdad de Markov muestra que no más de 1/5 de la población puede tener más de 5 veces el ingreso promedio.
Ver también
Desigualdad de Paley-Zygmund : un límite inferior correspondiente
Desigualdad de concentración : un resumen de los límites de cola de las variables aleatorias.
Referencias
^ "Desigualdades de Markov y Chebyshev" . Consultado el 4 de febrero de 2016 .
^ Stein, EM ; Shakarchi, R. (2005), Real Analysis , Princeton Lectures in Analysis , 3 (1ª ed.), Pág. 91.
enlaces externos
La prueba formal de la desigualdad de Markov en el sistema Mizar .
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