En matemáticas, el grupo de Mathieu M 13 es un grupo que actúa sobre 13 puntos, de modo que el estabilizador de cada punto es el grupo de Mathieu M 12 . Fue introducido por Conway ( 1987 , 1997 ) y estudiado en detalle por Conway, Elkies & Martin (2006) .
Construcción
El plano proyectivo de orden 3 tiene 13 puntos y 13 líneas, cada una de las cuales contiene 4 puntos. El grupoide de Mathieu se puede visualizar como un rompecabezas de bloques deslizantes colocando 12 fichas en 12 de los 13 puntos del plano proyectivo. Un movimiento consiste en mover una ficha desde cualquier punto x al punto vacío y , luego intercambiar las otras 2 fichas en la línea que contiene x e y . El grupoide de Mathieu consiste en las permutaciones que se pueden obtener componiendo varios movimientos.
Esto no es un grupo porque dos operaciones A y B sólo pueden estar compuestos si el punto de vacío después de la realización de A es el punto de vacío al comienzo de B . De hecho, es un groupoid (una categoría tal que cada morfismo es invertible) cuya 13 objetos son los 13 puntos, y cuyos morfismos de x a y son las operaciones que toman el punto vacío de x a y . Los morfismos que fijan el punto vacío forman un grupo isomorfo al grupo de Mathieu M 12 con 12 × 11 × 10 × 9 × 8 elementos.
Referencias
- Conway, John Horton (1987), "Gráficos y grupos y M13", Notas de teoría de gráficos de Nueva York , XIV : 18–29
- Conway, John Horton (1997), "M₁₃", Encuestas en combinatoria, 1997 (Londres) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 241 , Cambridge University Press , págs. 1–11, doi : 10.1017 / CBO9780511662119.002 , ISBN 9780511662119, Señor 1477742
- Conway, John Horton ; Elkies, Noam D .; Martin, Jeremy L. (2006), "The Mathieu group M12 and its pseudogroup extension M13" , Experimental Mathematics , 15 (2): 223-236, arXiv : math / 0508630 , doi : 10.1080 / 10586458.2006.10128958 , ISSN 1058- 6458 , MR 2253008
- Nakashima, Yasuhiro (2008), "The transitivity of Conway's M₁₃", Discrete Mathematics , 308 (11): 2273–2276, doi : 10.1016 / j.disc.2007.04.053 , ISSN 0012-365X , MR 2404553
- Gill, Nick; Gillespie, Neil; Nixon, Anthony; Semeraro, Jason (2014). "Grupos de rompecabezas". arXiv : 1405.1701v2 [ math.GR ].