En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 12 es un grupo simple esporádico de orden
- 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 6 · 3 3 · 5 · 11 = 95040.
Historia y propiedades
M 12 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu ( 1861 , 1873 ). Es un grupo de permutación claramente 5-transitivo en 12 objetos. Burgoyne y Fong (1968) demostraron que el multiplicador de Schur de M 12 tiene orden 2 (corrigiendo un error en ( Burgoyne y Fong 1966 ) donde afirmaron incorrectamente que tiene orden 1).
La doble cobertura había sido encontrada implícitamente anteriormente por Coxeter (1958) , quien mostró que M 12 es un subgrupo del grupo lineal proyectivo de dimensión 6 sobre el campo finito con 3 elementos.
El grupo de automorfismo externo tiene orden 2, y el grupo de automorfismo completo M 12 .2 está contenido en M 24 como el estabilizador de un par de dodecadas complementarias de 24 puntos, con automorfismos externos de M 12 intercambiando los dos dodecadas.
Representaciones
Frobenius (1904) calculó la compleja tabla de caracteres de M 12 .
M 12 tiene una representación de permutación estrictamente 5-transitiva en 12 puntos, cuyo estabilizador de puntos es el grupo de Mathieu M 11 . Identificando los 12 puntos con la línea proyectiva sobre el campo de 11 elementos, M 12 es generado por las permutaciones de PSL 2 (11) junto con la permutación (2,10) (3,4) (5,9) (6, 7). Esta representación de permutación conserva un sistema Steiner S (5, 6, 12) de 132 hexágonos especiales, de modo que cada pentad está contenido exactamente en 1 hexad especial, y los hexágonos son los soportes de las 6 palabras en clave de peso del código ternario extendido Golay . De hecho, M 12 tiene dos acciones desiguales en 12 puntos, intercambiadas por un automorfismo externo; estos son análogos a las dos acciones desiguales del grupo simétrico S 6 en 6 puntos.
La doble cubierta 2.M 12 es el grupo de automorfismos del código ternario extendido Golay , un código de dimensión 6 longitud 12 sobre el campo de orden 3 de peso mínimo 6. En particular, la doble cubierta tiene una representación irreducible de 6 dimensiones sobre el campo de 3 elementos.
La doble cobertura 2.M 12 es el grupo de automorfismos de cualquier matriz Hadamard de 12 × 12 .
M 12 centraliza un elemento de orden 11 en el grupo de monstruos , como resultado de lo cual actúa naturalmente sobre un álgebra de vértices sobre el campo con 11 elementos, dada como la cohomología Tate del álgebra de vértices de monstruos .
Subgrupos máximos
Hay 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 12 , 6 que ocurren en pares automórficos, como sigue:
- M 11 , orden 7920, índice 12. Hay dos clases de subgrupos máximos, intercambiados por un automorfismo externo. Uno es el subgrupo que fija un punto con órbitas de tamaño 1 y 11, mientras que el otro actúa transitivamente sobre 12 puntos.
- S 6 : 2 = M 10 .2, el grupo de automorfismo externo del grupo simétrico S 6 de orden 1440, índice 66. Hay dos clases de subgrupos máximos, intercambiados por un automorfismo externo. Uno es imprimitivo y transitivo, actuando con 2 bloques de 6, mientras que el otro es el subgrupo que fija un par de puntos y tiene órbitas de tamaño 2 y 10.
- PSL (2,11), orden 660, índice 144, doble transitivo en los 12 puntos
- 3 2 : (2.S 4 ), orden 432. Hay dos clases de subgrupos máximos, intercambiados por un automorfismo externo. Uno actúa con órbitas de 3 y 9, y el otro es imprimitivo en 4 series de 3.
- Isomorfo al grupo afín en el espacio C 3 x C 3 .
- S 5 x 2, orden 240, doblemente imprimible en 6 juegos de 2 puntos
- Centralizador de una transposición séxtuple
- P : S 4 , orden 192, órbitas de 4 y 8.
- Centralizador de una transposición cuádruple
- 4 2 : (2 x S 3 ), orden 192, imprimitivo en 3 juegos de 4
- A 4 x S 3 , orden 72, doblemente imprimitivo, 4 sets de 3 puntos.
Clases conjugadas
La forma de ciclo de un elemento y su conjugado bajo un automorfismo externo se relacionan de la siguiente manera: la unión de las dos formas de ciclo está equilibrada, en otras palabras, invariante al cambiar cada ciclo n a un ciclo N / n para algún número entero N .
Pedido | Número | Centralizador | Ciclos | Fusión |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 95040 | 1 12 | |
2 | 396 | 240 | 2 6 | |
2 | 495 | 192 | 1 4 2 4 | |
3 | 1760 | 54 | 1 3 3 3 | |
3 | 2640 | 36 | 3 4 | |
4 | 2970 | 32 | 2 2 4 2 | Fusionada bajo un automorfismo externo |
4 | 2970 | 32 | 1 4 4 2 | |
5 | 9504 | 10 | 1 2 5 2 | |
6 | 7920 | 12 | 6 2 | |
6 | 15840 | 6 | 1 2 3 6 | |
8 | 11880 | 8 | 1 2 2 8 | Fusionada bajo un automorfismo externo |
8 | 11880 | 8 | 4 8 | |
10 | 9504 | 10 | 2 10 | |
11 | 8640 | 11 | 1 11 | Fusionada bajo un automorfismo externo |
11 | 8640 | 11 | 1 11 |
Referencias
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enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M 12