cálculo matricial
En matemáticas , el cálculo matricial es una notación especializada para realizar cálculos multivariables , especialmente sobre espacios de matrices . Reúne las diversas derivadas parciales de una sola función con respecto a muchas variables , y/o de una función multivariada con respecto a una sola variable, en vectores y matrices que pueden tratarse como entidades únicas. Esto simplifica enormemente operaciones como encontrar el máximo o mínimo de una función multivariante y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales . La notación utilizada aquí se usa comúnmente en estadísticas.e ingeniería , mientras que en física se prefiere la notación de índice tensorial .
Dos convenciones de notación en competencia dividen el campo del cálculo matricial en dos grupos separados. Los dos grupos se pueden distinguir si escriben la derivada de un escalar con respecto a un vector como vector columna o vector fila . Ambas convenciones son posibles incluso cuando se hace la suposición común de que los vectores deben tratarse como vectores de columna cuando se combinan con matrices (en lugar de vectores de fila). Una sola convención puede ser algo estándar en un solo campo que comúnmente usa cálculo matricial (por ejemplo , econometría , estadística, teoría de la estimación y aprendizaje automático) .). Sin embargo, incluso dentro de un campo dado, se pueden encontrar diferentes autores utilizando convenciones en competencia. Los autores de ambos grupos a menudo escriben como si su convención específica fuera estándar. Se pueden producir errores graves al combinar resultados de diferentes autores sin verificar cuidadosamente que se hayan utilizado notaciones compatibles. Las definiciones de estas dos convenciones y las comparaciones entre ellas se recopilan en la sección de convenciones de diseño .
El cálculo matricial se refiere a una serie de notaciones diferentes que utilizan matrices y vectores para recopilar la derivada de cada componente de la variable dependiente con respecto a cada componente de la variable independiente. En general, la variable independiente puede ser un escalar, un vector o una matriz, mientras que la variable dependiente también puede ser cualquiera de estos. Cada situación diferente conducirá a un conjunto diferente de reglas, oa un cálculo separado , usando el sentido más amplio del término. La notación matricial sirve como una forma conveniente de recolectar las muchas derivadas de manera organizada.
Como primer ejemplo, considere el gradiente del cálculo vectorial . Para una función escalar de tres variables independientes , el gradiente viene dado por la ecuación vectorial
donde representa un vector unitario en la dirección de . Este tipo de derivada generalizada puede verse como la derivada de un escalar, f , con respecto a un vector, , y su resultado puede recogerse fácilmente en forma vectorial.
