Gráfico de McKay

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En matemáticas , el gráfico McKay de una representación de dimensión finita V de un finito grupo G es un ponderada carcaj que codifica la estructura de la teoría de la representación de G . Cada nodo representa una representación irreducible de G . Si son representaciones irreductibles de G , entonces hay una flecha de a si y solo si es un constituyente del producto tensorial . Entonces el peso n _ij de la flecha es el número de veces que aparece este constituyente . Para subgrupos finitos${\ Displaystyle \ chi _ {i}, \ chi _ {j}}$${\ Displaystyle \ chi _ {i}}$${\ Displaystyle \ chi _ {j}}$${\ Displaystyle \ chi _ {j}}$ ${\ Displaystyle V \ otimes \ chi _ {i}}$${\ Displaystyle V \ otimes \ chi _ {i}}$H de GL (2, C ), el gráfico de McKay de H es la gráfica McKay de la representación canónica de H .

Si G tiene n caracteres irreducibles, entonces la matriz de Cartan c _V de la representación V de dimensión d está definida por , donde δ es el delta de Kronecker . Un resultado por Steinberg establece que si g es un representante de una clase de conjugación de G , a continuación, los vectores son los vectores propios de c _V a los valores propios , en los que es el carácter de la representación V .${\ Displaystyle c_ {V} = (d \ delta _ {ij} -n_ {ij}) _ {ij}}$${\ Displaystyle ((\ chi _ {i} (g)) _ {i}}$${\ Displaystyle d- \ chi _ {V} (g)}$${\ Displaystyle \ chi _ {V}}$

La correspondencia de McKay, que lleva el nombre de John McKay , establece que existe una correspondencia uno a uno entre los gráficos de McKay de los subgrupos finitos de SL (2, C ) y los diagramas de Dynkin extendidos , que aparecen en la clasificación ADE de los simples Álgebras de mentiras .

Sea G un grupo finito, V una representación de G y su carácter. Que sea las representaciones irreducibles de G . Si${\ Displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle \ {\ chi _ {1}, \ ldots, \ chi _ {d} \}}$

luego defina la gráfica de McKay de G, en relación con V, de la siguiente manera:${\ Displaystyle \ Gamma _ {G}}$

Podemos calcular el valor de n _ij usando el producto interno en los caracteres : ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

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