En cálculo , y especialmente en cálculo multivariable , la media de una función se define vagamente como el valor promedio de la función en su dominio . En una variable, la media de una función f ( x ) en el intervalo ( a , b ) está definida por
Recuerde que una propiedad definitoria del valor medio de un número finito es eso . En otras palabras,es el valor constante que cuando se suma a sí mismo veces es igual al resultado de sumar el condiciones . Por analogía, una propiedad definitoria del valor medio de una función en el intervalo es eso
En otras palabras, es el valor constante que cuando se integra sobre es igual al resultado de integrar encima . Pero la integral de una constante es solo
Véase también el primer teorema del valor medio para la integración , que garantiza que sies continuo entonces existe un punto tal que
El punto se llama el valor medio de en . Entonces escribimos y reorganice la ecuación anterior para obtener la definición anterior.
En varias variables, la media sobre un dominio U relativamente compacto en un espacio euclidiano se define por
Esto generaliza la media aritmética . Por otro lado, también es posible generalizar la media geométrica a funciones definiendo la media geométrica de f como
De manera más general, en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad , cualquier tipo de media juega un papel importante. En este contexto, la desigualdad de Jensen coloca estimaciones precisas sobre la relación entre estas dos nociones diferentes de la media de una función.
También hay un promedio armónico de funciones y un promedio cuadrático (o raíz cuadrada media ) de funciones.