En matemáticas , una media de cantidades circulares es una media que a veces es más adecuada para cantidades como ángulos , horas diurnas y partes fraccionarias de números reales . Esto es necesario ya que la mayoría de los medios habituales pueden no ser apropiados en cantidades circulares. Por ejemplo, la media aritmética de 0 ° y 360 ° es 180 °, lo cual es engañoso porque para la mayoría de los propósitos 360 ° es lo mismo que 0 °. [1] Como otro ejemplo, el "tiempo promedio" entre las 11 p. M. Y la 1 a. M. Es medianoche o mediodía, dependiendo de si las dos horas son parte de una sola noche o de un solo día calendario. Este es uno de los ejemplos más simples deestadísticas de espacios no euclidianos .
Media de ángulos
Dado que la media aritmética no siempre es apropiada para los ángulos, se puede utilizar el siguiente método para obtener tanto un valor medio como una medida de la varianza de los ángulos:
Convierta todos los ángulos en los puntos correspondientes en el círculo unitario , por ejemplo, a . Es decir, convertir las coordenadas polares a coordenadas cartesianas . Luego calcule la media aritmética de estos puntos. El punto resultante estará dentro del disco unitario. Convierta ese punto de nuevo a coordenadas polares. El ángulo es una media razonable de los ángulos de entrada. El radio resultante será 1 si todos los ángulos son iguales. Si los ángulos se distribuyen uniformemente en el círculo, entonces el radio resultante será 0 y no hay una media circular. (De hecho, es imposible definir una operación media continua en el círculo). En otras palabras, el radio mide la concentración de los ángulos.
Dados los ángulos una fórmula común de la media que utiliza la variante atan2 de la función arcotangente es
o, usando números complejos :
Para igualar la derivación anterior usando medios aritméticos de puntos, las sumas tendrían que dividirse por . Sin embargo, la escala no importa para y , por lo que puede omitirse.
Este cálculo produce un resultado diferente al de la media aritmética, siendo la diferencia mayor cuando los ángulos están ampliamente distribuidos. Por ejemplo, la media aritmética de los tres ángulos 0 °, 0 ° y 90 ° es (0 + 0 + 90) / 3 = 30 °, pero la media del vector es 26,565 °. Además, con la media aritmética, la varianza circular solo se define ± 180 °.
Propiedades
La media circular
- maximiza la probabilidad del parámetro medio de la distribución de von Mises y
- minimiza la suma de una cierta distancia en el círculo, más precisamente
- La distancia es igual a la mitad de la distancia euclidiana al cuadrado entre los dos puntos en el círculo unitario asociado con y .
Ejemplo
Una forma sencilla de calcular la media de una serie de ángulos (en el intervalo [0 °, 360 °)) es calcular la media de los cosenos y senos de cada ángulo y obtener el ángulo calculando la tangente inversa. Considere los siguientes tres ángulos como ejemplo: 10, 20 y 30 grados. Intuitivamente, calcular la media implicaría sumar estos tres ángulos y dividir por 3, en este caso resultando en un ángulo medio correcto de 20 grados. Al girar este sistema en sentido antihorario 15 grados, los tres ángulos se convierten en 355 grados, 5 grados y 15 grados. La media ingenua es ahora de 125 grados, que es la respuesta incorrecta, ya que debería ser de 5 grados. La media del vector se puede calcular de la siguiente manera, utilizando el seno medio y el coseno medio :
Esto puede expresarse de manera más sucinta al darse cuenta de que los datos direccionales son, de hecho, vectores de longitud unitaria. En el caso de datos unidimensionales, estos puntos de datos se pueden representar convenientemente como números complejos de magnitud unitaria., dónde es el ángulo medido. El vector resultante medio para la muestra es entonces:
El ángulo medio muestral es entonces el argumento de la media resultante:
La longitud del vector resultante de la media muestral es:
y tendrá un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, el vector resultante de la media muestral se puede representar como:
También se utilizan cálculos similares para definir la varianza circular .
Ver también
Referencias
Jammalamadaka, S. Rao y SenGupta, A. (2001). Temas de estadísticas circulares , sección 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN 981-02-3778-2
enlaces externos
- Matemáticas y estadísticas de valores circulares con C ++ 11 , una infraestructura de C ++ 11 para valores circulares (ángulos, hora del día, etc.) matemáticas y estadísticas