Teorema del valor medio (diferencias divididas)

En análisis matemático , el teorema del valor medio para diferencias divididas generaliza el teorema del valor medio a derivadas superiores. ^[1]

Declaración del teorema

Para cualquier n  + 1 puntos distintos por pares x ₀ , ...,  x _n en el dominio de una función diferenciable n veces f , existe un punto interior

${\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})\,}$

donde la n- ésima derivada de f es igual a n  ! veces el n º dividida diferencia en estos puntos:

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

Para n  = 1, es decir, dos puntos de función, se obtiene el teorema del valor medio simple .

Prueba

Dejar ${\displaystyle P}$sea ​​el polinomio de interpolación de Lagrange para f en x ₀ , ...,  x _n . Entonces se sigue de la forma de Newton de${\displaystyle P}$ que el término más alto de ${\displaystyle P}$ es ${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dots (x-x_{1})(x-x_{0})}$.

Dejar ${\displaystyle g}$ ser el resto de la interpolación, definido por ${\displaystyle g=f-P}$. Luego${\displaystyle g}$ posee ${\displaystyle n+1}$ceros: x ₀ , ...,  x _n . Aplicando el teorema de Rolle primero a${\displaystyle g}$, luego a ${\displaystyle g'}$y así sucesivamente hasta ${\displaystyle g^{(n-1)}}$, encontramos eso ${\displaystyle g^{(n)}}$ tiene un cero ${\displaystyle \xi }$. Esto significa que

${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}$,

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

Aplicaciones

El teorema se puede utilizar para generalizar la media de Stolarsky a más de dos variables.

Referencias

1. de Boor, C. (2005). "Diferencias divididas". Surv. Aprox. Teoría . 1 : 46–69. Señor  2221566 .