El teorema de Ceva es un teorema sobre triángulos en geometría plana . Dado un triángulo ABC , deje que las líneas AO , BO y CO se dibujen desde los vértices hasta un punto común O (no en uno de los lados de ABC ), para encontrar lados opuestos en D , E y F respectivamente. (Los segmentos AD, BE y CF se conocen como cevians .) Luego, usando longitudes de segmentos con signo,
En otras palabras, la longitud XY se considera positiva o negativa según si X está a la izquierda oa la derecha de Y en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como un valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario.
El teorema de Ceva es un teorema de geometría afín , en el sentido de que puede enunciarse y demostrarse sin utilizar los conceptos de ángulos, áreas y longitudes (excepto por la razón de las longitudes de dos segmentos de línea que son colineales ). Por lo tanto, es cierto para triángulos en cualquier plano afín sobre cualquier campo .
Un inverso ligeramente adaptado también es cierto: si los puntos D , E y F se eligen en BC , AC y AB, respectivamente, de modo que
entonces AD , BE y CF son concurrentes , o los tres paralelos . Lo contrario a menudo se incluye como parte del teorema.
El teorema se atribuye a menudo a Giovanni Ceva , quien lo publicó en su obra De lineis rectis de 1678 . Pero fue probado mucho antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd , un rey de Zaragoza del siglo XI . [1]
Asociados con las figuras hay varios términos derivados del nombre de Ceva: ceviano (las líneas AD, BE, CF son los cevianos de O), triángulo ceviano (el triángulo DEF es el triángulo ceviano de O); nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado ceva. ( Ceva se pronuncia Chay'va; cevian se pronuncia chev'ian).
El teorema es muy similar al teorema de Menelao en que sus ecuaciones difieren solo en el signo.
Pruebas
Se han dado varias pruebas del teorema. [2] [3] A continuación se dan dos pruebas.
El primero es muy elemental y utiliza solo propiedades básicas de las áreas de los triángulos. [2] Sin embargo, varios casos han de ser considerados, dependiendo de la posición del punto O .
La segunda prueba usa coordenadas y vectores baricéntricos , pero de alguna manera es más natural y no depende de los casos. Además, funciona en cualquier plano afín sobre cualquier campo .
Usando áreas triangulares
Primero, el signo del lado izquierdo es positivo ya que las tres razones son positivas, el caso donde O está dentro del triángulo (diagrama superior), o uno es positivo y los otros dos son negativos, el caso O es fuera del triángulo (el diagrama inferior muestra un caso).
Para verificar la magnitud, tenga en cuenta que el área de un triángulo de una altura determinada es proporcional a su base. Entonces
Por lo tanto,
(Reemplaza el menos con un más si A y O están en lados opuestos de BC ).
y
Multiplicar estas tres ecuaciones da
según sea necesario.
El teorema también se puede probar fácilmente usando el teorema de Menelao. [4] Desde el BOE transversal del triángulo ACF ,
y del AOD transversal del triángulo BCF ,
El teorema sigue dividiendo estas dos ecuaciones.
Lo contrario sigue como corolario. [2] Sean D , E y F en las líneas BC , AC y AB para que la ecuación se mantenga. Deje que AD y BE se encuentren en O y sea F ′ el punto donde CO cruza AB . Entonces, según el teorema, la ecuación también es válida para D , E y F ′. Comparando los dos,
Pero a lo sumo, un punto puede cortar un segmento en una proporción determinada, de modo que F = F ′.
Usando coordenadas baricéntricas
Dados tres puntos A , B , C , que no son colineales , y un punto O , que pertenece al mismo plano , las coordenadas baricéntricas de O con respecto a A , B , C son los únicos tres números tal que
y
para cada punto X (para la definición de esta notación de flecha y más detalles, consulte Espacio afín ).
Para el teorema de Ceva, se supone que el punto O no pertenece a ninguna línea que pase por dos vértices del triángulo. Esto implica que
Si se toma por X la intersección F de las líneas AB y OC (ver figuras), la última ecuación se puede reordenar en
El lado izquierdo de esta ecuación es un vector que tiene la misma dirección que la línea CF , y el lado derecho tiene la misma dirección que la línea AB . Estas líneas tienen diferentes direcciones ya que A , B y C no son colineales. De ello se deduce que los dos miembros de la ecuación son iguales al vector cero, y
Resulta que
donde la fracción del lado izquierdo es la razón con signo de las longitudes de los segmentos de línea colineales AF y FB .
El mismo razonamiento muestra
El teorema de Ceva resulta inmediatamente al tomar el producto de las tres últimas ecuaciones.
Generalizaciones
El teorema se puede generalizar a símplex de dimensiones superiores utilizando coordenadas baricéntricas . Defina un ceviano de n- simple como un rayo desde cada vértice hasta un punto en la cara opuesta ( n -1) ( faceta ). Entonces, los cevianos son concurrentes si y solo si se puede asignar una distribución de masa a los vértices de modo que cada cevia cruce la faceta opuesta en su centro de masa . Además, el punto de intersección de los cevianos es el centro de masa del simplex. [5] [6]
El teorema de Routh da el área del triángulo formado por tres cevians en el caso de que no sean concurrentes. El teorema de Ceva se puede obtener estableciendo el área igual a cero y resolviendo.
El análogo del teorema para polígonos generales en el plano se conoce desde principios del siglo XIX. [7] El teorema también se ha generalizado a triángulos en otras superficies de curvatura constante . [8]
El teorema también tiene una generalización bien conocida a la geometría esférica e hiperbólica, reemplazando las longitudes en las proporciones con sus senos y senos hiperbólicos, respectivamente.
Ver también
- Geometría proyectiva
- Mediana (geometría) : una aplicación
Referencias
- ^ Holme, Audun (2010). Geometría: nuestro patrimonio cultural . Saltador. pag. 210 . ISBN 3-642-14440-3.
- ^ a b c Russell, John Wellesley (1905). "Cap. 1 §7 Teorema de Ceva". Geometría pura . Prensa de Clarendon.
- ^ Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems in Geometry , páginas 177–180, Dover Publishing Co., segunda edición revisada.
- ^ Sigue Hopkins, George Irving (1902). "Art. 986". Geometría del plano inductivo . DC Heath & Co.
- ^ Landy, Steven (diciembre de 1988). "Una generalización del teorema de Ceva a dimensiones superiores". The American Mathematical Monthly . 95 (10): 936–939. doi : 10.2307 / 2322390 . JSTOR 2322390 .
- ^ Wernicke, Paul (noviembre de 1927). "Los teoremas de Ceva y Menelao y su extensión". The American Mathematical Monthly . 34 (9): 468–472. doi : 10.2307 / 2300222 . JSTOR 2300222 .
- ^ Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1995). "Ceva, Menelao y el principio de área". Revista de Matemáticas . 68 (4): 254–268. doi : 10.2307 / 2690569 . JSTOR 2690569 .
- ^ Masal'tsev, LA (1994). "Teoremas de incidencia en espacios de curvatura constante". Revista de Ciencias Matemáticas . 72 (4): 3201–3206. doi : 10.1007 / BF01249519 .
Otras lecturas
- Hogendijk, JB (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, rey de Zaragoza del siglo XI y brillante matemático". Historia Mathematica . 22 : 1–18. doi : 10.1006 / hmat.1995.1001 .
enlaces externos
- Menelaus y Ceva en MathPages
- Derivaciones y aplicaciones del teorema de Ceva al cortar el nudo
- Forma trigonométrica del teorema de Ceva al cortar el nudo
- El glosario de la Enciclopedia de centros de triángulos incluye definiciones de triángulo ceviano, nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado ceva y punto ceva.
- Cónicas asociadas con un nido ceviano, por Clark Kimberling
- Teorema de Ceva por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Ceva" . MathWorld .
- Encontrar experimentalmente el centroide de un triángulo con diferentes pesos en los vértices: una aplicación práctica del teorema de Ceva en Dynamic Geometry Sketches , un boceto interactivo de geometría dinámica utilizando el simulador de gravedad de Cenicienta.
- "Teorema de Ceva" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]