El teorema de Mergelyan es un resultado famoso de un análisis complejo probado por el matemático armenio Sergei Mergelyan en 1951. Dice lo siguiente:
Sea K un subconjunto compacto del plano complejo C tal que C ∖ K está conectado . Entonces, toda función continua f : K C , de manera que la restricción f a int ( K ) es holomórfica , se puede aproximar uniformemente en K con polinomios . Aquí, int ( K ) denota el interior de K .
El teorema de Mergelyan es el último desarrollo y generalización del teorema de aproximación de Weierstrass y el teorema de Runge . Da la solución completa del problema clásico de aproximación por polinomios.
En el caso de que C ∖ K no esté conectado, en el problema de aproximación inicial los polinomios deben ser reemplazados por funciones racionales . Mergelyan también sugirió un paso importante en la solución de este nuevo problema de aproximación racional en 1952. Se deben, en particular, a AG Vitushkin otros resultados profundos sobre la aproximación racional .
Los teoremas de Weierstrass y Runge se propusieron en 1885, mientras que el teorema de Mergelyan data de 1951. Esta diferencia de tiempo bastante grande no es sorprendente, ya que la prueba del teorema de Mergelyan se basa en un nuevo y poderoso método creado por Mergelyan. Después de Weierstrass y Runge, muchos matemáticos (en particular Walsh , Keldysh y Lavrentyev ) habían estado trabajando en el mismo problema. El método de la prueba sugerido por Mergelyan es constructivo y sigue siendo la única prueba constructiva conocida del resultado.
Ver también
Referencias
- Lennart Carleson , Teorema de Mergelyan sobre aproximación polinomial uniforme , Matemáticas. Scand., V. 15, (1964) 167-175.
- Dieter Gaier, Conferencias sobre aproximación compleja , Birkhäuser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X .
- W. Rudin, Análisis real y complejo , McGraw-Hill Book Co., Nueva York, (1987), ISBN 0-07-054234-1 .
- AG Vitushkin, Medio siglo como un día , Eventos matemáticos del siglo XX, 449–473, Springer, Berlín, (2006), ISBN 3-540-23235-4 / hbk.
enlaces externos
- "Teorema de Mergelyan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]