En el análisis complejo , el teorema de Runge (también conocido como teorema de aproximación de Runge ) lleva el nombre del matemático alemán Carl Runge, quien lo demostró por primera vez en el año 1885. Dice lo siguiente:
Designando por C el conjunto de números complejos , deja que K sea un subconjunto compacto de C y dejar que f sea una función que es holomorfa en un conjunto abierto que contiene K . Si A es un conjunto que contiene al menos un número complejo de cada componente conectado acotado de C \ K, entonces existe una secuencia de funciones racionales que converge uniformemente a f en K y tal que todos los polos de las funcionesestán en A.
Tenga en cuenta que no todos los números complejos en A deben ser un polo de todas las funciones racionales de la secuencia.. Simplemente sabemos que para todos los miembros deque no tiene polos, los polos se encuentran en una .
Un aspecto que hace que este teorema sea tan poderoso es que se puede elegir el conjunto A de manera arbitraria. En otras palabras, uno puede elegir cualquier número complejo de los componentes conectados acotados de C \ K y el teorema garantiza la existencia de una secuencia de funciones racionales con polos solo entre esos números elegidos.
Para el caso especial en el que C \ K es un conjunto conectado (en particular cuando K está simplemente conectado), el conjunto A en el teorema estará claramente vacío. Dado que las funciones racionales sin polos son simplemente polinomios , obtenemos el siguiente corolario : si K es un subconjunto compacto de C tal que C \ K es un conjunto conectado, yf es una función holomórfica en un conjunto abierto que contiene K , entonces existe una secuencia de polinomiosque se aproxima a f uniformemente sobre K (las suposiciones se pueden relajar, ver el teorema de Mergelyan ).
El teorema de Runge se generaliza de la siguiente manera: se puede tomar A como un subconjunto de la esfera de Riemann C ∪ {∞} y se requiere que A intersecte también el componente conectado ilimitado de K (que ahora contiene ∞). Es decir, en la formulación dada anteriormente, las funciones racionales pueden llegar a tener un polo en el infinito, mientras que en la formulación más general del polo puede ser elegido en su lugar en cualquier parte del componente conectado sin límites de C \ K .
Prueba
Una prueba elemental, dada en Sarason (1998) , procede de la siguiente manera. Hay un contorno lineal cerrado a trozos Γ en el conjunto abierto, que contiene K en su interior. Por la fórmula integral de Cauchy
para w en K . Riemann sumas que se aproximan se pueden utilizar para aproximar la integral de contorno de manera uniforme sobre K . Cada término de la suma es un múltiplo escalar de ( z - w ) −1 para algún punto z en el contorno. Esto da una aproximación uniforme por una función racional con polos en Γ.
Para modificar esto a una aproximación con polos en puntos especificados en cada componente del complemento de K , es suficiente verificar esto en términos de la forma ( z - w ) −1 . Si z 0 es el punto en el mismo componente que z , tome una trayectoria lineal por partes de z a z 0 . Si dos puntos están lo suficientemente cerca en la trayectoria, cualquier función racional con polos solo en el primer punto se puede expandir como una serie de Laurent sobre el segundo punto. Esa serie Laurent se puede truncar para dar una función racional con polos solamente en el segundo punto de manera uniforme cerca de la función original de K . Continuando por pasos a lo largo de la ruta de z a z 0, la función original ( z - w ) −1 puede modificarse sucesivamente para dar una función racional con polos solo en z 0 .
Si z 0 es el punto en el infinito, entonces mediante el procedimiento anterior la función racional ( z - w ) −1 puede aproximarse primero mediante una función racional g con polos en R > 0 donde R es tan grande que K se encuentra en w < R . El desarrollo en serie de Taylor de g aproximadamente 0 entonces puede ser truncada para dar un polinomio aproximación en K .
Ver también
Referencias
- Conway, John B. (1997), Un curso de análisis funcional (2a ed.), Springer, ISBN 0-387-97245-5
- Greene, Robert E .; Krantz, Steven G. (2002), Teoría de la función de una variable compleja (2a ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X
- Sarason, Donald (1998), Notas sobre la teoría de funciones complejas , Textos y lecturas en matemáticas, 5 , Hindustan Book Agency, págs. 108-115, ISBN 81-85931-19-4
enlaces externos
- "Teorema de Runge" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]