Método de equilibrio dominante

En matemáticas, el método del equilibrio dominante se utiliza para determinar el comportamiento asintótico de soluciones a una ecuación diferencial ordinaria sin resolver completamente la ecuación. El proceso es iterativo, en el sentido de que el resultado obtenido al realizar el método una vez se puede utilizar como entrada cuando se repite el método, para obtener tantos términos en la expansión asintótica como se desee. ^[1]

El proceso es el siguiente:

1. Suponga que el comportamiento asintótico tiene la forma

   ${\displaystyle y(x)\sim e^{S(x)}.}$

2. Haga una conjetura informada sobre qué términos de la EDO podrían ser insignificantes en el límite de interés.
3. Elimine estos términos y resuelva la EDO resultante más simple.
4. Verifique que la solución sea consistente con el paso 2. Si este es el caso, entonces se tiene el factor de control del comportamiento asintótico; de lo contrario, es necesario intentar eliminar términos diferentes en el paso 2.
5. Repita el proceso a órdenes superiores, confiando en el resultado anterior como el término principal en la solución.

Ejemplo

Para constantes arbitrarias c y una , considere

${\displaystyle xy''+(c-x)y'-ay=0.}$

Esta ecuación diferencial no se puede resolver con exactitud. Sin embargo, es útil considerar cómo se comportan las soluciones para x grande : resulta que se comporta como x → ∞. ${\displaystyle y}$${\displaystyle e^{x}\,}$

Más rigurosamente, lo haremos , no . Dado que estamos interesados ​​en el comportamiento de y en el límite de x grande , cambiamos las variables a y = exp ( S ( x )), y reexpresamos la EDO en términos de S ( x ),${\displaystyle \log(y)\sim {x}}$${\displaystyle y\sim e^{x}}$

${\displaystyle xS''+xS'^{2}+(c-x)S'-a=0,\,}$

o

${\displaystyle S''+S'^{2}+\left({\frac {c}{x}}-1\right)S'-{\frac {a}{x}}=0\,}$

donde hemos utilizado la regla del producto y la regla de la cadena para evaluar las derivadas de y .

Ahora suponga primero que una solución a esta EDO satisface

${\displaystyle S'^{2}\sim S',}$

como x → ∞, de modo que

${\displaystyle S'',~{\frac {c}{x}}S',~{\frac {a}{x}}=o(S'^{2}),~o(S')\,}$

como x → ∞. Obtenga entonces el comportamiento asintótico dominante estableciendo

${\displaystyle S_{0}'^{2}=S_{0}'.}$

Si satisface las condiciones asintóticas anteriores, entonces el supuesto anterior es consistente. Los términos que retiramos habrán sido insignificantes con respecto a los que mantuvimos. ${\displaystyle S_{0}}$

${\displaystyle S_{0}}$no es una solución a la EDO para S , pero representa el comportamiento asintótico dominante , que es lo que nos interesa. Compruebe que esta elección de es consistente,${\displaystyle S_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}'&=1\\S_{0}'^{2}&=1\\S_{0}''&=0=o(S_{0}')\\{\frac {c}{x}}S_{0}'&={\frac {c}{x}}=o(S_{0}')\\{\frac {a}{x}}&=o(S_{0}')\end{aligned}}}$

De hecho, todo es consistente.

Así, se ha encontrado el comportamiento asintótico dominante de una solución a nuestra EDO,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&\sim x\\\log(y)&\sim x.\end{aligned}}}$

Por convención, la serie asintótica completa se escribe como

${\displaystyle y\sim Ax^{p}e^{\lambda x^{r}}\left(1+{\frac {u_{1}}{x}}+{\frac {u_{2}}{x^{2}}}+\cdots +{\frac {u_{k}}{x^{k}}}+o\left({\frac {1}{x^{k}}}\right)\right),}$

así que para obtener al menos el primer término de esta serie tenemos que dar un paso más para ver si hay una potencia de x al frente.

Continúe introduciendo una nueva variable dependiente de subpartida,

${\displaystyle S(x)\equiv S_{0}(x)+C(x)\,}$

y luego busque soluciones asintóticas para C ( x ). Sustituyendo en la EDO anterior para S ( x ) encontramos

${\displaystyle C''+C'^{2}+C'+{\frac {c}{x}}C'+{\frac {c-a}{x}}=0.}$

Repitiendo el mismo proceso que antes, mantenemos C ' y ( c  -  a ) / x para encontrar que

${\displaystyle C_{0}=\log x^{a-c}.}$

El comportamiento asintótico principal es entonces

${\displaystyle y\sim x^{a-c}e^{x}.}$

Ver también

• Análisis asintótico

Referencias

1. Bender, CM ; Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Saltador. págs. 549–568. ISBN 0-387-98931-5.