Micropaquete

En matemáticas , un micropaquete es una generalización del concepto de paquete vectorial , introducido por el matemático estadounidense John Milnor en 1964. ^[1] Permite la creación de objetos en forma de paquete en situaciones en las que normalmente no se pensaría que existieran. Por ejemplo, el paquete tangente se define para una variedad suave pero no una variedad topológica . El uso de microhaces permite la definición de un haz tangente topológico .

A continuación, se muestra la definición precisa de un micropaquete. Sea B un espacio topológico . Entonces un n -microbundle consiste en un triple , donde E es un espacio topológico (el "espacio total"), i es un mapa de B a E (la "sección cero"), yp es un mapa de E a B ( "el mapa de proyección"). Además, existen dos condiciones: ${\ Displaystyle (E, i, p)}$

Tenga en cuenta que la primera condición sugiere que i es la sección cero de un paquete de vectores, mientras que la segunda es como la condición de trivialidad local en un paquete. Una distinción importante aquí es que la "trivialidad local" para los micropaquetes solo se mantiene cerca de un vecindario de la sección cero. E podría verse muy salvaje lejos de ese vecindario. Además, los mapas que pegan juntos parches localmente triviales del microhaz solo pueden superponerse a las fibras.

Dos microhaces son isomorfos si tienen vecindarios de sus secciones cero que son homeomorfos por un mapa que hacen que los mapas necesarios se desplacen. Existen operaciones de paquete típicas, como paquetes inducidos bajo retroceso.

Un teorema de James Kister y Barry Mazur establece que hay una vecindad de la sección cero que en realidad es un haz de fibras con un grupo de fibras y estructuras , el grupo de homeomorfismos de fijación del origen. Este barrio es único hasta la isotopía . Por lo tanto, cada microhaz se puede refinar a un haz de fibras real de una manera esencialmente única. ^[2] ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Homeo} (\ mathbb {R} ^ {n}, 0)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Para una variedad M , una variedad topológica, hay un microhaz dado por el mapa diagonal y la proyección a la primera coordenada. Tomando el haz de fibras contenido en él se obtiene el haz tangente topológico. Intuitivamente, este paquete se obtiene tomando un sistema de gráficos pequeños para M , dejando que cada gráfico U tenga una fibra U sobre cada punto del gráfico y pegando estos paquetes triviales superponiendo las fibras de acuerdo con los mapas de transición. ${\ Displaystyle M \ a M \ veces M}$