En dinámica de fluidos , la ecuación de pendiente suave describe los efectos combinados de difracción y refracción de las ondas de agua que se propagan sobre la batimetría y debido a los límites laterales, como los rompeolas y las costas . Es un modelo aproximado, que deriva su nombre de haber sido desarrollado originalmente para la propagación de olas en pendientes suaves del fondo marino. La ecuación de pendiente suave se usa a menudo en ingeniería costera para calcular los cambios en el campo de olas cerca de puertos y costas .
La ecuación de pendiente suave modela la propagación y transformación de las olas de agua, a medida que viajan a través de aguas de profundidad variable e interactúan con límites laterales como acantilados , playas , malecones y rompeolas. Como resultado, describe las variaciones en la amplitud de las olas o, de manera equivalente, en la altura de las olas . A partir de la amplitud de la onda, también se puede calcular la amplitud de las oscilaciones de la velocidad del flujo debajo de la superficie del agua. Estas cantidades (amplitud de las olas y amplitud de la velocidad del flujo) pueden utilizarse posteriormente para determinar los efectos de las olas en las estructuras costeras y mar adentro, los barcos y otros objetos flotantes, el transporte de sedimentos y los cambios batimétricos resultantes del lecho marino y la costa, los campos de flujo medio y la masa. transferencia de materiales disueltos y flotantes. Muy a menudo, la ecuación de pendiente suave se resuelve por computadora utilizando métodos de análisis numérico .
Eckart desarrolló una primera forma de la ecuación de pendiente suave en 1952, y Juri Berkhoff derivó de forma independiente una versión mejorada, la ecuación de pendiente suave en su formulación clásica, en 1972. [1] [2] [3] A partir de entonces, se han propuesto muchas formas modificadas y ampliadas, para incluir los efectos de, por ejemplo: interacción ola-corriente , no linealidad de las olas , pendientes más pronunciadas del lecho marino, fricción del lecho y rompimiento de las olas . También se utilizan a menudo aproximaciones parabólicas a la ecuación de pendiente suave, con el fin de reducir el costo computacional.
En caso de una profundidad constante, la ecuación de pendiente suave se reduce a la ecuación de Helmholtz para la difracción de ondas.
Formulación para movimiento ondulatorio monocromático
Para ondas monocromáticas de acuerdo con la teoría lineal, con la elevación de la superficie libre dada comoy las ondas que se propagan en una capa fluida de profundidad media del agua—La ecuación de pendiente suave es: [4]
dónde:
- es la amplitud de valor complejo de la elevación de la superficie libre
- es la posición horizontal;
- es la frecuencia angular del movimiento ondulatorio monocromático;
- es la unidad imaginaria ;
- significa tomar la parte real de la cantidad entre llaves;
- es el operador de gradiente horizontal ;
- es el operador de divergencia ;
- es el número de onda ;
- es la velocidad de fase de las ondas y
- es la velocidad de grupo de las olas.
La fase y la velocidad del grupo dependen de la relación de dispersión y se derivan de la teoría de ondas de Airy como: [5]
dónde
- es la gravedad de la Tierra y
- es la tangente hiperbólica .
Para una frecuencia angular dada , el número de onda tiene que resolverse a partir de la ecuación de dispersión, que relaciona estas dos cantidades con la profundidad del agua .
Transformación a una ecuación de Helmholtz no homogénea
A través de la transformación
la ecuación de pendiente suave se puede convertir en una ecuación de Helmholtz no homogénea : [4] [6]
dónde es el operador de Laplace .
Propagación de ondas
En campos espacialmente coherentes de propagación de ondas, es útil dividir la amplitud compleja en su amplitud y fase, ambas reales valoradas : [7]
dónde
- es la amplitud o valor absoluto de y
- es la fase de onda, que es el argumento de
Esto transforma la ecuación de pendiente suave en el siguiente conjunto de ecuaciones (aparte de las ubicaciones para las que es singular): [7]
dónde
- es la densidad de energía de las olas promedio por unidad de área horizontal (la suma de las densidades de energía cinética y potencial ),
- es el vector de número de onda efectivo, con componentes
- es el vector de velocidad de grupo efectivo ,
- es la densidad del fluido , y
- es la aceleración por la gravedad de la Tierra .
La última ecuación muestra que la energía de las olas se conserva en la ecuación de pendiente suave y que la energía de las olas se transporta en el -dirección normal a las crestas de la onda (en este caso de movimiento ondulatorio puro sin corrientes medias). [7] La velocidad de grupo efectiva es diferente de la velocidad del grupo
La primera ecuación establece que el número de onda efectivo es irrotacional , una consecuencia directa del hecho de que es la derivada de la fase de onda, un campo escalar . La segunda ecuación es la ecuación eikonal . Muestra los efectos de la difracción sobre el número de onda efectivo: solo para ondas más o menos progresivas, con la división en amplitud y fase conduce a campos consistentes-variables y significativos de y . De lo contrario, κ 2 incluso puede volverse negativo. Cuando se desprecian totalmente los efectos de difracción, el número de onda efectivo κ es igual a, y se puede utilizar la aproximación de óptica geométrica para la refracción de ondas . [7]
Cuándo se utiliza en la ecuación de pendiente suave, el resultado es, además de un factor :
Ahora tanto la parte real como la imaginaria de esta ecuación deben ser iguales a cero:
El vector de número de onda efectivo se define como el gradiente de la fase de onda:
- y su longitud vectorial es
Tenga en cuenta que es un campo irrotacional , ya que la curvatura del gradiente es cero:
Ahora las partes real e imaginaria de la ecuación de pendiente suave transformada se convierten, primero multiplicando la parte imaginaria por :
La primera ecuación conduce directamente a la ecuación eikonal anterior para , mientras que el segundo da:
que, al notar que en el que la frecuencia angular es una constante para el movimiento armónico en el tiempo : conduce a la ecuación de conservación de la energía de las olas.
Derivación de la ecuación de pendiente suave
La ecuación de pendiente suave se puede derivar mediante el uso de varios métodos. Aquí, usaremos un enfoque variacional . [4] [8] Se asume que el fluido es invisible e incompresible , y se asume que el flujo es irrotacional . Estos supuestos son válidos para las ondas de gravedad superficiales, ya que los efectos de la vorticidad y la viscosidad solo son significativos en las capas límite de Stokes (para la parte oscilatoria del flujo). Debido a que el flujo es irrotacional, el movimiento de las olas se puede describir utilizando la teoría del flujo potencial .
Principio variacional de Lucas
La formulación lagrangiana de Luke proporciona una formulación variacional para ondas de gravedad superficiales no lineales . [9] Para el caso de un dominio ilimitado horizontalmente con una densidad constante , una superficie de fluido libre en y un fondo marino fijo en Principio variacional de Lucas usa el lagrangiano
dónde es la densidad lagrangiana horizontal , dada por:
dónde es el potencial de velocidad , siendo los componentes de la velocidad de flujo y en el , y direcciones, respectivamente. La formulación lagrangiana de Luke también puede reformularse en una formulación hamiltoniana en términos de elevación de la superficie y potencial de velocidad en la superficie libre. [10] Tomando las variaciones de con respecto al potencial y elevación de la superficie conduce a la ecuación de Laplace para en el interior del fluido, así como todas las condiciones de contorno tanto en la superficie libre como en la cama en
Teoría de ondas lineales
En el caso de la teoría de ondas lineales, la integral vertical en la densidad lagrangiana se divide en una parte de la cama a la superficie media en y una segunda parte de a la superficie libre . Usando una expansión de la serie de Taylor para la segunda integral alrededor de la elevación media de la superficie libre y solo conservando términos cuadráticos en y la densidad lagrangiana para el movimiento de onda lineal se convierte en
El termino en la integral vertical se descarta ya que se ha vuelto dinámicamente poco interesante: da una contribución cero a las ecuaciones de Euler-Lagrange , con el límite de integración superior ahora fijo. Lo mismo es cierto para el término inferior descuidado proporcional a en la energía potencial.
Las ondas se propagan en la horizontal. plano, mientras que la estructura del potencial no tiene forma de onda en la vertical -dirección. Esto sugiere el uso de la siguiente suposición sobre la forma del potencial
- con normalización en la elevación media de la superficie libre
Aquí es el potencial de velocidad en el nivel medio de superficie libre A continuación, se hace el supuesto de pendiente suave, en el sentido de que la función de forma vertical cambia lentamente en el -plano y derivadas horizontales de puede despreciarse en la velocidad del flujo. Entonces:
Como resultado:
- con y
Las ecuaciones de Euler-Lagrange para esta densidad lagrangiana son, con representando ya sea o
Ahora primero se toma igual a y luego a Como resultado, las ecuaciones de evolución para el movimiento de las olas se convierten en: [4]
con ∇ el operador de gradiente horizontal: ∇ ≡ (∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ) T donde T denota la transposición .
El siguiente paso es elegir la función de forma y para determinar y
Función de forma vertical de la teoría de ondas de Airy
Dado que el objetivo es la descripción de olas sobre lechos de pendiente suave, la función de forma se elige de acuerdo con la teoría de ondas de Airy . Esta es la teoría lineal de ondas que se propagan en profundidad constante.La forma de la función de forma es: [4]
con ahora, en general, no es una constante, pero se elige para variar con y según la profundidad local y la relación de dispersión lineal: [4]
Aquí una frecuencia angular constante, elegida de acuerdo con las características del campo de ondas en estudio. En consecuencia, las integrales y convertirse en: [4]
Las siguientes ecuaciones dependientes del tiempo dan la evolución de la elevación de la superficie libre y potencial de superficie libre [4]
De las dos ecuaciones de evolución, una de las variables o puede eliminarse, para obtener la forma dependiente del tiempo de la ecuación de pendiente suave: [4]
y la ecuación correspondiente para el potencial de superficie libre es idéntica, con reemplazado por La ecuación de pendiente suave dependiente del tiempo se puede utilizar para modelar ondas en una banda estrecha de frecuencias alrededor
Ondas monocromáticas
Considere ondas monocromáticas con amplitud compleja y frecuencia angular
con y elegidos iguales entre sí, Usando esto en la forma dependiente del tiempo de la ecuación de pendiente suave, recupera la ecuación clásica de pendiente suave para el movimiento de onda armónico en el tiempo: [4]
Aplicabilidad y validez de la ecuación de pendiente suave
La ecuación de pendiente suave estándar, sin términos adicionales para la pendiente del lecho y la curvatura del lecho, proporciona resultados precisos para el campo de olas sobre pendientes del lecho que varían de 0 a aproximadamente 1/3. [11] Sin embargo, algunos aspectos sutiles, como la amplitud de las ondas reflejadas, pueden ser completamente incorrectos, incluso para pendientes que llegan a cero. Esta curiosidad matemática tiene poca importancia práctica en general, ya que esta reflexión se vuelve cada vez más pequeña para pendientes de fondo pequeñas.
Notas
- ^ Eckart, C. (1952), "La propagación de ondas de gravedad de aguas profundas a aguas poco profundas" , Circular 20 , Oficina Nacional de Normas: 165-173
- ^ Berkhoff, JCW (1972), "Computación de refracción-difracción combinada", Actas 13th International Conference on Coastal Engineering , Vancouver, págs. 471–490
- ^ Berkhoff, JCW (1976), Modelos matemáticos para modelos de ondas de agua lineales armónicas simples; refracción y difracción de ondas (PDF) (Tesis doctoral), Universidad Tecnológica de Delft
- ^ a b c d e f g h i j Dingemans (1997 , págs. 248–256 y 378–379)
- ^ Dingemans (1997 , p. 49)
- ^ Mei (1994 , págs. 86–89)
- ↑ a b c d Dingemans (1997 , págs. 259-262)
- ^ Booij, N. (1981), Ondas de gravedad en el agua con profundidad y corriente no uniforme (PDF) (Tesis doctoral), Universidad Tecnológica de Delft
- ^ Luke, JC (1967), "Un principio variacional para un fluido con una superficie libre", Journal of Fluid Mechanics , 27 (2): 395–397, Bibcode : 1967JFM .... 27..395L , doi : 10.1017 / S0022112067000412
- ^ Miles, JW (1977), "Sobre el principio de Hamilton para ondas superficiales", Journal of Fluid Mechanics , 83 (1): 153-158, Bibcode : 1977JFM .... 83..153M , doi : 10.1017 / S0022112077001104
- ^ Booij, N. (1983), "Una nota sobre la precisión de la ecuación de pendiente suave", Coastal Engineering , 7 (1): 191-203, doi : 10.1016 / 0378-3839 (83) 90017-0
Referencias
- Dingemans, MW (1997), Propagación de ondas de agua sobre fondos irregulares , Serie avanzada sobre ingeniería oceánica, 13 , World Scientific, Singapur, ISBN 981-02-0427-2, OCLC 36126836, 2 Partes, 967 páginas.
- Liu, PL-F. (1990), "Transformación de onda", en B. Le Méhauté y DM Hanes (ed.), Ocean Engineering Science , The Sea, 9A , Wiley Interscience, págs. 27–63, ISBN 0-471-52856-0
- Mei, Chiang C. (1994), La dinámica aplicada de las olas de la superficie del océano , Serie avanzada sobre ingeniería oceánica, 1 , World Scientific, ISBN 9971-5-0789-7, 740 páginas.
- Porter, D .; Chamberlain, PG (1997), "Dispersión de ondas lineales por topografía bidimensional", en JN Hunt (ed.), Ondas de gravedad en aguas de profundidad finita , Advances in Fluid Mechanics, 10 , Computational Mechanics Publications, págs. 13–53 , ISBN 1-85312-351-X
- Porter, D. (2003), "Las ecuaciones de pendiente suave", Journal of Fluid Mechanics , 494 : 51–63, Bibcode : 2003JFM ... 494 ... 51P , doi : 10.1017 / S0022112003005846