En teoría de números , la constante de Mills se define como el número real positivo más pequeño A tal que la función de piso de la función exponencial doble
es un número primo para todos los números naturales n . Esta constante lleva el nombre de William H. Mills, quien demostró en 1947 la existencia de A basándose en los resultados de Guido Hoheisel y Albert Ingham sobre las brechas primarias . [1] Se desconoce su valor, pero si la hipótesis de Riemann es cierta, es aproximadamente 1.3063778838630806904686144926 ... (secuencia A051021 en la OEIS ).
Molinos primos
Los primos generados por la constante de Mills se conocen como primos de Mills; si la hipótesis de Riemann es cierta, la secuencia comienza
Si a i denota el i- ésimo primo en esta secuencia, entonces a i se puede calcular como el número primo más pequeño mayor que. Para asegurar que el redondeo, para n = 1, 2, 3,…, produce esta secuencia de primos, debe ser el caso que. Los resultados de Hoheisel-Ingham garantizan que existe un número primo entre dos números cúbicos suficientemente grandes , lo que es suficiente para demostrar esta desigualdad si partimos de un primer primo suficientemente grande.. La hipótesis de Riemann implica que existe un primer entre dos cubos consecutivos, lo que permite la suficientemente grande condición a ser eliminado, y permitiendo que la secuencia de Mills números primos para comenzar en un 1 = 2.
Por todo un> , hay al menos un primo entre y . [2] Este límite superior es demasiado grande para ser práctico, ya que no es factible verificar todos los números por debajo de esa cifra. Sin embargo, el valor de la constante de Mills se puede verificar calculando el primer primo en la secuencia que sea mayor que esa cifra.
En abril de 2017, el undécimo número de la secuencia es el más grande que se ha demostrado que es primo . Es
y tiene 20562 dígitos. [3]
A partir de 2015[actualizar], el primo probable más grande conocido de Mills (bajo la hipótesis de Riemann) es
(secuencia A108739 en la OEIS ), que tiene una longitud de 555,154 dígitos.
Cálculo numérico
Al calcular la secuencia de los números primos de Mills, se puede aproximar la constante de Mills como
Caldwell y Cheng utilizaron este método para calcular 6850 dígitos en base 10 de la constante de Mills bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es cierta. [4] No se conoce una fórmula de forma cerrada para la constante de Mills, y ni siquiera se sabe si este número es racional . [5] Si es racional, y si podemos calcular su expansión decimal hasta el punto en que se repite, esto nos permitirá generar infinitos números primos demostrables.
Representaciones fraccionales
A continuación se muestran las fracciones que se aproximan a la constante de Mills, enumeradas en orden de precisión creciente (con convergentes de fracciones continuas en negrita) (secuencia A123561 en la OEIS ):
1/1 , 3/2, 4/3 , 9/7, 13/10 , 17/13 , 47/36, 64/49 , 81/62 , 145/111, 226/173 , 307/235 , 840 / 643 , 1147/878 , 3134/2399, 4281/3277, 5428/4155 , 6575/5033, 12003/9188 , 221482/169539, 233485/178727, 245488/187915, 257491/197103, 269494/206291, 281497/215479, 293500/224667, 305503/233855, 317506/243043, 329509/252231, 341512/261419, 353515/270607, 365518/279795, 377521/288983, 389524/298171, 401527/307359, 413530/316547, 425533/325735 , 4692866 / 3592273, 5118399/3918008, 5543932/4243743, 5969465/4569478, 6394998/4895213, 6820531/5220948, 7246064 / 5546683,7671597 / 5872418, 8097130/6198153, 8522663/6523888, 8948196/6849623 , 9373729/7175358 , 27695654/21200339, 37069383/28375697, 46443112/35551055 , 148703065/113828523, 195146177/149379578 , 241589289/184930633 , 436735466/334310211 , 1115060221/853551055, 1551795687/1187861266 , 1988531153/1522171477, 3540326840/2710032743 , 33414737247/25578155953, ...
Generalizaciones
No hay nada especial en el valor del exponente medio de 3. Es posible producir funciones generadoras de primos similares para diferentes valores del exponente medio. De hecho, para cualquier número real por encima de 2.106 ..., es posible encontrar una constante A diferente que funcione con este exponente medio para producir siempre primos. Además, si la conjetura de Legendre es cierta, el exponente del medio se puede reemplazar con el valor 2 [6] (secuencia A059784 en la OEIS ).
Matomäki mostró incondicionalmente (sin asumir la conjetura de Legendre) la existencia de una constante A (posiblemente grande) tal quees primo para todos los n . [7]
Además, Tóth demostró que la función piso en la fórmula podría reemplazarse con la función techo , de modo que existe una constante tal que
también es el principal representante de . [8]
En el caso , el valor de la constante comienza con 1.24055470525201424067 ... Los primeros números primos generados son:
Ver también
Referencias
- ^ Molinos, WH (1947). "Una función de representación prima" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 53 (6): 604. doi : 10.1090 / S0002-9904-1947-08849-2 .
- ^ Dudek, Adrian W. (2016). "Un resultado explícito para primos entre cubos". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 55 (2): 177-197. arXiv : 1401.4233 . doi : 10.7169 / facm / 2016.55.2.3 . Señor 3584567 . S2CID 119143089 .
- ^ Caldwell, Chris (7 de julio de 2006). "La base de datos Prime" . Primes . Consultado el 11 de mayo de 2017 .
- ^ Caldwell, Chris K .; Cheng, Yuanyou (2005). "Determinación de la constante de Mills y una nota sobre el problema de Honaker" . Diario de secuencias de enteros . 8 . pag. 5.4.1. Señor 2165330 .
- ^ Finch, Steven R. (2003). "Constante de Molinos". Constantes matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 130-133 . ISBN 0-521-81805-2.
- ^ Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2.a ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321842688.
- ^ Matomäki, K. (2010). "Funciones de representación prima" (PDF) . Acta Mathematica Hungarica . 128 (4): 307–314. doi : 10.1007 / s10474-010-9191-x . S2CID 18960874 .
- ^ Tóth, László (2017). "Una variación en las funciones de representación prima similares a las de los molinos" (PDF) . Diario de secuencias de enteros . 20 . pag. 17.9.8. arXiv : 1801.08014 .
Otras lecturas
- Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). "Estimación explícita de primos entre cubos consecutivos". La Revista de Matemáticas de las Montañas Rocosas . 40 (1): 117-153. arXiv : 0810.2113 . doi : 10.1216 / RMJ-2010-40-1-117 . Señor 2607111 . S2CID 15502941 .
- Elsholtz, Christian (2020). "Funciones representativas de prima incondicionales, siguiendo molinos". American Mathematical Monthly . 127 (7): 639–642. arXiv : 2004.01285 . doi : 10.1080 / 00029890.2020.1751560 . S2CID 214795216 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Mills 'Constant" . MathWorld .
- ¿Quién recuerda el número de Mills? , E. Kowalski.
- Increíble número primo constante , Numberphile.