Ideal mínimo primo

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En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como álgebra conmutativa , ciertos ideales primos llamados ideales primos mínimos juegan un papel importante en la comprensión de anillos y módulos . La noción de altura y el principal teorema del ideal de Krull utilizan números primos mínimos.

Se dice que un ideal primo P es un ideal primo mínimo sobre un ideal I si es mínimo entre todos los ideales primos que contienen I. (Nota: si I es un ideal primo, entonces I es el único primo mínimo sobre él). Se dice que un ideal primo es un ideal primo mínimo si es un ideal primo mínimo sobre el ideal cero .

Un ideal primo mínimo sobre un ideal I en un anillo noetheriano R es precisamente un primo mínimo asociado (también llamado primo aislado) de ; esto se sigue, por ejemplo, de la descomposición primaria de I.${\ Displaystyle R / I}$

Para un ideal primo mínimo en un anillo local , en general, no es necesario que la dimensión de Krull de .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A}$${\displaystyle A}$

Se dice que un anillo local noetheriano es equidimensional si para cada ideal primo mínimo ,. Por ejemplo, un dominio integral local de Noether y un anillo local de Cohen-Macaulay son equidimensionales.${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A}$

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