En álgebra conmutativa , el teorema del ideal principal de Krull , que lleva el nombre de Wolfgang Krull (1899-1971), da un límite en la altura de un ideal principal en un anillo noetheriano conmutativo . A veces se hace referencia al teorema por su nombre alemán, Krulls Hauptidealsatz ( Satz que significa "proposición" o "teorema").
Precisamente, si R es un anillo noetheriano e I es un ideal principal y propio de R , entonces cada ideal primo mínimo sobre I tiene una altura como máximo uno.
Este teorema se puede generalizar a ideales que no son principales, y el resultado a menudo se denomina teorema de la altura de Krull . Esto dice que si R es un anillo noetheriano e I es un ideal propio generado por n elementos de R , entonces cada primo mínimo sobre I tiene una altura como máximo n . Lo contrario también es cierto: si un ideal primo tiene altura n , entonces es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos. [1]
El teorema ideal principal y la generalización, el teorema de la altura, se derivan del teorema fundamental de la teoría de la dimensión en el álgebra conmutativa (ver también más adelante las demostraciones directas). El álgebra conmutativa de Bourbaki da una prueba directa. Los anillos conmutativos de Kaplansky incluyen una prueba debida a David Rees .
Prueba del teorema del ideal principal
Dejar ser un anillo noetheriano, x un elemento de él yun primo mínimo sobre x . Reemplazo de A por la localización, podemos asumir es local con el máximo ideal . Dejar ser un ideal primo estrictamente menor y dejar , el cual es un - ideal primario llamado el n -ésimo poder simbólico de. Forma una cadena descendente de ideales. Por lo tanto, existe la cadena descendente de ideales en el ring . Ahora, el radical es la intersección de todos los ideales primos mínimos que contienen ; está entre ellos. Pero es un ideal máximo único y por lo tanto . Desde contiene algo de poder de su radical, se sigue que es un anillo artiniano y por lo tanto la cadena se estabiliza y, por lo tanto, hay algo de n tal que. Eso implica:
- ,
del hecho es -primaria (si es en , luego con y . Desde es mínimo sobre , y entonces implica es en .) Ahora, cociente de ambos lados por rendimientos . Luego, por el lema de Nakayama (que dice que un módulo M generado finitamente es cero sipor algún ideal que figura en el radical), obtenemos; es decir, y por lo tanto . Usando el lema de Nakayama nuevamente, y es un anillo artiniano; así, la altura de es cero.
Prueba del teorema de la altura
El teorema de la altura de Krull se puede demostrar como consecuencia del teorema del ideal principal por inducción sobre el número de elementos. Dejar ser elementos en , una prima mínima sobre y un ideal primo tal que no haya primo estrictamente entre ellos. Reemplazo por la localización podemos asumir es un anillo local; nota que entonces tenemos. Por minimidad, no puede contener todos los ; volver a etiquetar los subíndices, digamos,. Dado que cada ideal primo que contiene está entre y , y así podemos escribir para cada ,
con y . Ahora consideramos el anillo y la cadena correspondiente en eso. Si es una prima mínima sobre , luego contiene y por lo tanto ; es decir, es una prima mínima sobre y así, según el principal teorema del ideal de Krull, es un primo mínimo (sobre cero); es una prima mínima sobre . Por hipótesis inductiva, y por lo tanto .