En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un ideal recto mínimo de un anillo R es un ideal recto distinto de cero que no contiene ningún otro ideal recto distinto de cero. Del mismo modo, un ideal izquierdo mínimo es un ideal izquierdo distinto de cero de R que no contiene otros ideales izquierdos distintos de cero de R , y un ideal mínimo de R es un ideal distinto de cero que no contiene ningún otro ideal bilateral distinto de cero de R ( Isaacs 2009 , p. 190) .
En otras palabras, los ideales mínimos correctos son elementos mínimos del conjunto de ideales correctos distintos de cero de R ordenados por inclusión. Se advierte al lector que fuera de este contexto, algunos conjuntos de ideales pueden admitir el ideal cero, por lo que el ideal cero podría ser potencialmente un elemento mínimo en ese conjunto. Este es el caso del conjunto de ideales primos de un anillo, que puede incluir el ideal cero como ideal primo mínimo .
Muchos hechos estándar sobre ideales mínimos se pueden encontrar en textos estándar como ( Anderson & Fuller 1992 ), ( Isaacs 2009 ), ( Lam 2001 ) y ( Lam 1999 ).
Un submódulo N distinto de cero de un módulo derecho M se denomina submódulo mínimo si no contiene otros submódulos distintos de cero de M . De manera equivalente, N es un submódulo distinto de cero de M , que es un módulo simple . Esto también se puede extender a los bimódulos llamando a un subbimódulo N distinto de cero un subbimódulo mínimo de M si N no contiene otros subbimódulos distintos de cero.
Si el módulo M se toma como el módulo R correcto R R , entonces claramente los submódulos mínimos son exactamente los ideales mínimos correctos de R . Asimismo, los ideales mínimos izquierdos de R son precisamente los submódulos mínimos del módulo izquierdo R R . En el caso de los ideales bilaterales, vemos que los ideales mínimos de R son exactamente los subbimódulos mínimos del bimódulo R R R .
Al igual que con los anillos, no hay garantía de que existan submódulos mínimos en un módulo. Se pueden usar submódulos mínimos para definir el zócalo de un módulo .