En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como álgebra conmutativa , ciertos ideales primos llamados ideales primos mínimos juegan un papel importante en la comprensión de anillos y módulos . La noción de altura y el principal teorema del ideal de Krull utilizan números primos mínimos.
Definición
Un ideal primo P se dice que es un ideal primo mínimo sobre un ideal I si es mínimo entre todos los ideales primos que contienen I . (Nota: si I es un ideal primo, entonces I es el único primo mínimo sobre él). Se dice que un ideal primo es un ideal primo mínimo si es un ideal primo mínimo sobre el ideal cero .
Un ideal primo mínimo sobre un ideal I en un anillo noetheriano R es precisamente un primo mínimo asociado (también llamado primo aislado) de; esto se desprende, por ejemplo, de la descomposición primaria de I .
Ejemplos de
- En un anillo artiniano conmutativo , todo ideal máximo es un ideal primo mínimo.
- En un dominio integral , el único ideal primo mínimo es el ideal cero.
- En el anillo Z de enteros , los ideales primos mínimos sobre un ideal principal distinto de cero ( n ) son los ideales principales ( p ), donde p es un divisor primo de n . El único ideal primo mínimo sobre el ideal cero es el ideal cero mismo. Declaraciones similares son válidas para cualquier dominio ideal principal .
- Si yo es un p - ideales primaria (por ejemplo, un poder simbólico de p ), entonces p es el único ideal primo minimal sobre I .
- Los ideales y son los ideales primordiales mínimos en ya que son la extensión de los ideales primordiales para el morfismo, contienen el ideal cero (que no es primo ya que , pero tampoco ni están contenidos en el ideal cero) y no están contenidos en ningún otro ideal primo.
- En los primos mínimos sobre el ideal son los ideales y .
- Dejar y las imágenes de x , y en una . Luego y son los ideales primos mínimos de A (y no hay otros). Dejarser el conjunto de cero-divisores en A . Luegoestá en D (ya que mata distintos de cero) mientras que ninguno en ni ; entonces.
Propiedades
Se supone que todos los anillos son conmutativos y unitales .
- Todo ideal apropiado I en un anillo tiene al menos un ideal primo mínimo por encima de él. La prueba de este hecho utiliza el lema de Zorn . [1] Cualquier ideal máximo que contenga I es primo, y tales ideales existen, por lo que el conjunto de ideales primos que contienen I no está vacío. La intersección de una cadena decreciente de ideales primos es primordial. Por lo tanto, el conjunto de ideales primos que contiene I tiene un elemento mínimo, que es un número primo mínimo sobre I .
- Emmy Noether demostró que en un anillo noetheriano , solo hay un número finito de ideales primarios mínimos sobre cualquier ideal dado. [2] [3] El hecho sigue siendo cierto si "Noetherian" es reemplazado por las condiciones de la cadena ascendente en ideales radicales .
- El radical de un ideal adecuado que coincide con la intersección de los ideales primos minimales sobre I . [4]
- El conjunto de divisores cero de un anillo dado contiene la unión de los ideales primos mínimos. [5]
- El teorema del ideal principal de Krull dice que, en un anillo noetheriano, cada primo mínimo sobre un ideal principal tiene una altura como máximo uno.
- Cada ideal ideal I de un anillo noetheriano contiene un producto de los ideales primos mínimos posiblemente repetidos sobre él (Prueba:es la intersección de los ideales primos minimales más me . Para algunos n ,y entonces yo contengo.)
- Un ideal primordial en un anillo R es un primo mínimo único sobre un ideal I si y solo siy tal yo es-primaria si es máxima. Esto da un criterio local para un primo mínimo: un ideal primoes un primo mínimo sobre I si y solo si es un -ideal primario. Cuando R es un anillo noetheriano,es un primo mínimo sobre I si y solo sies un anillo artiniano (es decir,es nilpotente módulo I ). La imagen previa de debajo es un ideal primario de llamó al - componente primario de I .
Anillo equidimensional
Para un ideal prime mínimo en un anillo local , en general, no es necesario que , la dimensión Krull de.
Un anillo local noetheriano se dice que es equidimensional si para cada ideal primo mínimo, . Por ejemplo, un dominio integral local de Noether y un anillo de Cohen-Macaulay local son equidimensionales.
Ver también esquema equidimensional y anillo cuasi sin mezclar .
Ver también
Notas
- ^ Kaplansky 1974 , p. 6
- ^ Kaplansky 1974 , p. 59
- ^ Eisenbud 1995 , p. 47
- ^ Kaplansky 1974 , p. dieciséis
- ^ Kaplansky 1974 , p. 57
Referencias
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Kaplansky, Irving (1974), anillos conmutativos , University of Chicago Press , MR 0345945
Otras lecturas
- http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E
- http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P