Fase mínima
En la teoría de control y el procesamiento de señales , se dice que un sistema lineal invariante en el tiempo es de fase mínima si el sistema y su inverso son causales y estables . [1] [2]
La función de transferencia de LTI causal más general se puede factorizar de forma única en una serie de un sistema de fase mínima y de paso total. La función del sistema es entonces el producto de las dos partes y, en el dominio del tiempo, la respuesta del sistema es la convolución de las respuestas de las dos partes. La diferencia entre una fase mínima y una función de transferencia general es que un sistema de fase mínima tiene todos los polos y ceros de su función de transferencia en la mitad izquierda de la representación del plano s (en tiempo discreto, respectivamente, dentro del círculo unitario de el plano z). Dado que la inversión de una función del sistema conduce a que los polos se conviertan en ceros y viceversa, y los polos en el lado derecho ( línea imaginaria del plano s ) o fuera ( círculo unitario del plano z ) del plano complejo conduce a sistemas inestables , solo la clase de sistemas de fase mínima se cierra bajo inversión. Intuitivamente, la parte de fase mínima de un sistema causal general implementa su respuesta de amplitud con un retardo de grupo mínimo , mientras que su parte de paso total corrige su respuesta de fase solo para corresponder con la función del sistema original.
El análisis en términos de polos y ceros es exacto solo en el caso de funciones de transferencia que pueden expresarse como razones de polinomios. En el caso de tiempo continuo, tales sistemas se traducen en redes de redes LCR convencionales e idealizadas . En tiempo discreto, se traducen convenientemente en aproximaciones de los mismos, usando suma, multiplicación y retraso unitario. Se puede demostrar que en ambos casos, las funciones del sistema de forma racional con orden creciente pueden usarse para aproximar eficientemente cualquier otra función del sistema; por lo tanto, incluso las funciones del sistema que carecen de una forma racional y, por lo tanto, poseen una infinidad de polos y / o ceros, pueden implementarse en la práctica de manera tan eficiente como cualquier otra.
En el contexto de los sistemas causales y estables, en teoría tendríamos libertad para elegir si los ceros de la función del sistema están fuera del rango estable (hacia la derecha o fuera) si la condición de cierre no fuera un problema. Sin embargo, la inversión es de gran importancia práctica, al igual que las factorizaciones teóricamente perfectas lo son por derecho propio. (Véase la descomposición espectral simétrica / antisimétrica como otro ejemplo importante, que conduce, por ejemplo, a las técnicas de transformación de Hilbert .) Muchos sistemas físicos también tienden naturalmente a una respuesta de fase mínima y, a veces, tienen que invertirse utilizando otros sistemas físicos que obedezcan la misma restricción.
A continuación se da una idea de por qué este sistema se llama fase mínima y por qué la idea básica se aplica incluso cuando la función del sistema no se puede convertir en una forma racional que podría implementarse.
Un sistema es invertible si podemos determinar de manera única su entrada a partir de su salida. Es decir, podemos encontrar un sistema tal que si aplicamos seguido de , obtenemos el sistema de identidad . (Consulte Matriz inversa para un análogo de dimensión finita). Es decir,
