Conjetura de la simetría especular

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En matemáticas, la simetría especular es una relación conjetural entre ciertas variedades Calabi-Yau y una "variedad espejo" construida. La conjetura permite relacionar el número de curvas racionales en una variedad Calabi-Yau (codificadas como invariantes de Gromov-Witten ) con integrales de una familia de variedades (codificadas como integrales de período en una variación de estructuras de Hodge ). En resumen, esto significa que existe una relación entre el número de curvas algebraicas de grado de género en una variedad Calabi-Yau y las integrales en una variedad dual . Estas relaciones fueron descubiertas originalmente por Candelas, De la Ossa, Green y Parkes.${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ check {X}}}$^[1] en un documento de estudio de un genérico triple quintic encomo la variedady una construcción ^[2] de la ecuación de quinto familia Dwork dando. Poco después, Sheldon Katz escribió un artículo de resumen ^{[3] en el que se} esboza parte de su construcción y conjeturas sobre lo que podría ser la interpretación matemática rigurosa.${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X _ {\ psi}}$${\ Displaystyle {\ check {X}} = {\ tilde {X}} _ {\ psi}}$

Originalmente, la construcción de colectores de espejos se descubrió mediante un procedimiento ad-hoc. Esencialmente, para un genérico triple quintic no debe estar asociado a una familia de un solo parámetro de Calabi-Yau colectores que tiene múltiples singularidades. Después de hacer explotar estas singularidades , se resuelven y se construye un nuevo colector Calabi-Yau . que tenía un diamante Hodge volteado. En particular, existen isomorfismos${\ Displaystyle X \ subconjunto \ mathbb {CP} ^ {4}}$${\ Displaystyle X _ {\ psi}}$${\ Displaystyle X ^ {\ vee}}$

${\ Displaystyle H ^ {q} (X, \ Omega _ {X} ^ {p}) \ cong H ^ {q} (X ^ {\ vee}, \ Omega _ {X ^ {\ vee}} ^ { 3-p})}$

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