En geometría algebraica , un período es un número que se puede expresar como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico. Las sumas y productos de períodos siguen siendo períodos, por lo que los períodos forman un anillo .
Maxim Kontsevich y Don Zagier hicieron un repaso de períodos e introdujeron algunas conjeturas sobre ellos. [1]
Definición
Un número real se llama período si es la diferencia de volúmenes de regiones del espacio euclidiano dada por desigualdades polinómicas con coeficientes racionales. [se necesita aclaración ] De manera más general, un número complejo se llama período si sus partes real e imaginaria son períodos.
Los períodos son números que surgen como integrales de funciones algebraicas sobre dominios que se describen mediante ecuaciones algebraicas o mediante desigualdades con coeficientes racionales. [2] Los períodos se pueden definir como números complejos cuyas partes real e imaginaria son valores de integrales absolutamente convergentes de funciones racionales con coeficientes racionales, sobre dominios endado por desigualdades polinómicas con coeficientes racionales. [3] Los coeficientes de las funciones racionales y polinomios se pueden generalizar a números algebraicos ya que las integrales y los números algebraicos irracionales se pueden expresar en términos de áreas de dominios adecuados.
Ejemplos de
Además de los números algebraicos, se sabe que los siguientes números son períodos:
- El logaritmo natural de cualquier número algebraico positivo a , que es
- π
- Integrales elípticas con argumentos racionales
- Todas las constantes zeta (la función zeta de Riemann de un número entero) y múltiples valores zeta
- Valores especiales de funciones hipergeométricas en argumentos algebraicos
- Γ ( p / q ) q para los números naturales p y q .
Un ejemplo de un número real que no es un período lo da la constante Ω de Chaitin . Cualquier otro número no computable también da un ejemplo de un número real que no es un período. Actualmente no existen ejemplos naturales de números computables que se haya demostrado que no sean períodos, sin embargo, es posible construir ejemplos artificiales. [4] Los candidatos plausibles para números que no son períodos incluyen e , 1 / π y la constante γ de Euler-Mascheroni .
Propiedades y motivación
Los períodos están destinados a cerrar la brecha entre los números algebraicos y los números trascendentales . La clase de números algebraicos es demasiado estrecha para incluir muchas constantes matemáticas comunes , mientras que el conjunto de números trascendentales no es contable y sus miembros generalmente no son computables .
El conjunto de todos los períodos es contable y todos los períodos son computables , [5] y en particular definibles .
Conjeturas
Muchas de las constantes conocidas como períodos también están dadas por integrales de funciones trascendentales . Kontsevich y Zagier señalan que "no parece haber una regla universal que explique por qué ciertas sumas infinitas o integrales de funciones trascendentales son períodos".
Kontsevich y Zagier conjeturaron que, si un período está dado por dos integrales diferentes, entonces cada integral se puede transformar en la otra usando solo la linealidad de integrales, cambios de variables y la fórmula de Newton-Leibniz
(o, más generalmente, la fórmula de Stokes ).
Una propiedad útil de los números algebraicos es que la igualdad entre dos expresiones algebraicas se puede determinar algorítmicamente. La conjetura de Kontsevich y Zagier implicaría que la igualdad de períodos también es decidible: la desigualdad de reales computables se conoce recursivamente enumerable ; ya la inversa, si dos integrales concuerdan, entonces un algoritmo podría confirmarlo probando todas las formas posibles de transformar una de ellas en la otra.
No se espera que el número de Euler e y constante de Euler-Mascheroni γ son períodos. Los períodos se pueden extender a períodos exponenciales al permitir el producto de una función algebraica y la función exponencial de una función algebraica como integrando. Esta extensión incluye todas las potencias algebraicas de e , la función gamma de los argumentos racionales y los valores de las funciones de Bessel . Si, además, la constante γ de Euler se agrega como un nuevo período, entonces según Kontsevich y Zagier "todas las constantes clásicas son períodos en el sentido apropiado".
Ver también
- Variedad jacobiana
- Conexión Gauss-Manin
- Motivos mixtos (matemáticas)
- Formalismo tannakiano
Referencias
- Kontsevich, Maxim ; Zagier, Don (2001). "Periodos" (PDF) . En Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (eds.). Matemáticas ilimitadas — 2001 y más allá . Berlín, Nueva York: Springer . págs. 771–808. ISBN 9783540669135. Señor 1852188 .
Notas al pie
- ^ Kontsevich y Zagier 2001 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Periods" . WolframMathWorld (Wolfram Research) . Consultado el 19 de junio de 2019 .
- ^ Kontsevich y Zagier 2001 , p. 3.
- ^ Yoshinaga, Masahiko (3 de mayo de 2008). "Periodos y números reales elementales". arXiv : 0805.0349 [ math.AG ].
- ^ Tienda, Katrin ; Ziegler, Martin (2010). "Funciones computables de reales" (PDF) . Revista Münster de Matemáticas . 3 : 43–66.
Otras lecturas
- Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003), "Periods and Igusa local zeta functions", International Mathematics Research Notices , 2003 (49): 2655–2670, doi : 10.1155 / S107379280313142X , ISSN 1073-7928 , MR 2012522
- Waldschmidt, Michel (2006), "Trascendencia de períodos: el estado del arte" (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599 , MR 2251476
enlaces externos
- PlanetMath: Periodo