Teorema de incrustación de Mitchell
El teorema de incrustación de Mitchell , también conocido como teorema de Freyd-Mitchell o teorema de incrustación completo , es un resultado sobre categorías abelianas ; esencialmente establece que estas categorías, aunque definidas de manera bastante abstracta, son de hecho categorías concretas de módulos . Esto permite utilizar pruebas de búsqueda de diagramas por elementos en estas categorías. El teorema lleva el nombre de Barry Mitchell y Peter Freyd .
La afirmación precisa es la siguiente: si A es una categoría abeliana pequeña, entonces existe un anillo R (con 1, no necesariamente conmutativo) y un funtor completo , fiel y exacto F : A → R -Mod (donde este último denota el categoría de todas las izquierdas R -modules ).
El funtor F produce una equivalencia entre A y una subcategoría completa de R -Mod de tal manera que los núcleos y conúcleos calculados en A corresponden a los núcleos y conúcleos ordinarios calculados en R -Mod. Tal equivalencia es necesariamente aditiva . Así, el teorema esencialmente dice que los objetos de A pueden considerarse como R -módulos, y los morfismos como R -mapas lineales, con núcleos, conúcleos, secuencias exactasy las sumas de morfismos se determinan como en el caso de los módulos. Sin embargo, los objetos proyectivos e inyectivos en A no se corresponden necesariamente con los módulos R proyectivos e inyectivos .
Sea la categoría de funtores exactos a la izquierda de la categoría abeliana a la categoría de grupos abelianos . Primero construimos una incrustación contravariante por para todo , donde es el hom-funtor covariante, . El lema de Yoneda establece que es completamente fiel y también obtenemos la exactitud izquierda de muy fácilmente porque ya se dejó exacta. La prueba de la exactitud correcta de es más difícil y puede leerse en Swan, Lecture Notes in Mathematics 76 .
Después de eso demostramos que es una categoría abeliana usando la teoría de localización (también Swan). Esta es la parte difícil de la prueba.
