En la teoría de categorías y sus aplicaciones a otras ramas de las matemáticas , los núcleos son una generalización de los núcleos de homomorfismos de grupo , los núcleos de homomorfismos de módulos y algunos otros núcleos del álgebra . Intuitivamente, el núcleo del morfismo f : X → Y es el morfismo "más general" k : K → X que produce cero cuando se compone con (seguido de) f .
Tenga en cuenta que los pares de núcleos y los núcleos de diferencia (también conocidos como ecualizadores binarios ) a veces se denominan "núcleo"; si bien están relacionados, no son exactamente lo mismo y no se tratan en este artículo.
Definición
Sea C una categoría . Para definir un núcleo en el sentido teórico de la categoría general, C necesita tener cero morfismos . En ese caso, si f : X → Y es un arbitraria morfismo en C , a continuación, un núcleo de f es un ecualizador de f y el morfismo cero de X a Y . En símbolos:
- ker ( f ) = eq ( f , 0 XY )
Para ser más explícito, se puede utilizar la siguiente propiedad universal . Un núcleo de f es un objeto K junto con un morfismo k : K → X tal que:
- f ∘ k es el morfismo cero de K a Y ;
- Dado cualquier morfismo k ′: K ′ → X tal que f ∘ k ′ es el morfismo cero, existe un morfismo único u : K ′ → K tal que k ∘ u = k ′ .
Tenga en cuenta que en muchos contextos concretos , uno se referiría al objeto K como el "núcleo", en lugar del morfismo k . En esas situaciones, K sería un subconjunto de X , y eso sería suficiente para reconstruir k como un mapa de inclusión ; en el caso no concreto, en contraste, necesitamos la morfismo k para describir cómo K debe ser interpretado como un subobjeto de X . En cualquier caso, se puede demostrar que k es siempre un monomorfismo (en el sentido categórico). Uno puede preferir pensar en el núcleo como el par ( K , k ) en lugar de simplemente K o k solo.
No todos los morfismos necesitan tener un núcleo, pero si lo tiene, entonces todos sus núcleos son isomórficos en un sentido fuerte: si k : K → X y ℓ : L → X son núcleos de f : X → Y , entonces existe un isomorfismo único φ: K → L tal que ℓ ∘φ = k .
Ejemplos de
Los núcleos son familiares en muchas categorías del álgebra abstracta , como la categoría de grupos o la categoría de módulos (izquierda) sobre un anillo fijo (incluidos los espacios vectoriales sobre un campo fijo ). Para ser explícitos, si f : X → Y es un homomorfismo en una de estas categorías, y K es su núcleo en el sentido algebraico habitual , entonces K es una subálgebra de X y el homomorfismo de inclusión de K a X es un núcleo en el sentido categórico.
Tenga en cuenta que en la categoría de monoides , los núcleos teóricos de categorías existen al igual que los grupos, pero estos núcleos no contienen suficiente información para propósitos algebraicos. Por lo tanto, la noción de kernel estudiada en la teoría de monoides es ligeramente diferente (ver #Relación con los kernels algebraicos a continuación).
En la categoría de anillos unitales , no hay núcleos en el sentido teórico de categorías; de hecho, esta categoría ni siquiera tiene morfismos cero. Sin embargo, todavía existe una noción de kernel estudiada en la teoría de anillos que corresponde a kernels en la categoría de anillos no unitales .
En la categoría de los espacios topológicos en punta , si f : X → Y es un mapa puntiagudo continua, entonces la imagen inversa del punto distinguido, K , es un subespacio de X . El mapa de inclusión de K en X es el núcleo categórico de f .
Relación con otros conceptos categóricos
El concepto dual al de kernel es el de cokernel . Es decir, el núcleo de un morfismo es su cokernel en la categoría opuesta , y viceversa.
Como se mencionó anteriormente, un kernel es un tipo de ecualizador binario o kernel de diferencia . Por el contrario, en una categoría preaditiva , cada ecualizador binario se puede construir como un núcleo. Para ser específicos, el ecualizador de los morfismos f y g es el núcleo de la diferencia g - f . En símbolos:
- eq ( f , g ) = ker ( g - f ).
Es por este hecho que los ecualizadores binarios se denominan "núcleos de diferencia", incluso en categorías no preaditivas donde los morfismos no se pueden restar.
Cada kernel, como cualquier otro ecualizador, es un monomorfismo . Por el contrario, un monomorfismo se llama normal si es el núcleo de algún morfismo. Una categoría se llama normal si todos los monomorfismos son normales.
Las categorías abelianas , en particular, son siempre normales. En esta situación, el núcleo del cokernel de cualquier morfismo (que siempre existe en una categoría abeliana) resulta ser la imagen de ese morfismo; en símbolos:
- im f = ker coker f (en una categoría abeliana)
Cuando m es un monomorfismo, debe ser su propia imagen; así, no sólo las categorías abelianas son normales, de modo que todo monomorfismo es un núcleo, sino que también sabemos de qué morfismo es un núcleo el monomorfismo, es decir, su cokernel. En símbolos:
- m = ker (coker m ) (para monomorfismos en una categoría abeliana)
Relación con los núcleos algebraicos
El álgebra universal define una noción de núcleo para homomorfismos entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo. Este concepto de kernel mide qué tan lejos está el homomorfismo dado de ser inyectivo . Existe cierta superposición entre esta noción algebraica y la noción categórica de kernel, ya que ambas generalizan la situación de grupos y módulos mencionados anteriormente. En general, sin embargo, la noción algebraica universal de kernel se parece más al concepto teórico de categorías de par de kernel . En particular, los pares de núcleos se pueden utilizar para interpretar los núcleos en la teoría de monoides o en la teoría de anillos en términos de teoría de categorías.
Fuentes
- Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías (PDF) . Guías lógicas de Oxford. 49 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-923718-0.
- Kernel en nLab