En la rama de las matemáticas conocida como análisis complejo , un logaritmo complejo es un análogo de los números complejos distintos de cero del logaritmo de un número real positivo . El término se refiere a uno de los siguientes:
- un logaritmo complejo de un número complejo z distinto de cero , definido como cualquier número complejo w para el cual e w = z . [1] [2] Este número w se denota mediante log z . [1] Si z se da en forma polar como z = re iθ , donde r y θ son números reales con r > 0 , entonces ln ( r ) + iθ es un logaritmo de z, y todos los logaritmos complejos de z son exactamente los números de la forma ln ( r ) + i ( θ + 2 π k ) para enteros k . [1] [2] Estos logaritmos están igualmente espaciados a lo largo de una línea vertical en el plano complejo.
- una función de valor complejo , definido en algún subconjunto , satisfactorio para todos . Tal función es análoga a la función de logaritmo real , que es la inversa de la función exponencial real y que, por tanto, satisface e ln x = x para todos los números reales positivos x .
No hay una función de logaritmo complejo continuo definida en todos los. Las formas de lidiar con esto incluyen ramas , la superficie de Riemann asociada y las inversas parciales de la función exponencial compleja . El valor principal define una función de logaritmo complejo particular eso es continuo excepto a lo largo del eje real negativo.
Problemas con la inversión de la función exponencial compleja
Para que una función tenga una inversa, debe asignar valores distintos a valores distintos ; es decir, debe ser inyectable . Pero la función exponencial compleja no es inyectiva, porque e w 2 kπi = e w para cualquier w , ya que la adición de iθ a w tiene el efecto de girar e w antihorario θ radianes . Entonces los puntos
igualmente espaciados a lo largo de una línea vertical, todos se asignan al mismo número por la función exponencial. Esto significa que la función exponencial no tiene una función inversa en el sentido estándar. [3] [4] Hay dos soluciones a este problema.
Una es restringir el dominio de la función exponencial a una región que no contiene dos números que difieran en un múltiplo entero de 2πi : esto conduce naturalmente a la definición de ramas de log z , que son ciertas funciones que singularizan un logaritmo de cada número en sus dominios. Esto es análogo a la definición de arcosen x en [−1, 1] como la inversa de la restricción de sin θ al intervalo [- π / 2, π / 2] : hay infinitos números reales θ con sin θ = x , pero uno elige arbitrariamente el que está en [- π / 2, π / 2] .
Otra forma de resolver la indeterminación es ver el logaritmo como una función cuyo dominio no es una región en el plano complejo , sino una superficie de Riemann que cubre el plano complejo perforado de forma infinita a 1.
Las sucursales tienen la ventaja de que pueden evaluarse en números complejos. Por otro lado, la función en la superficie de Riemann es elegante porque empaqueta todas las ramas del logaritmo y no requiere una elección arbitraria como parte de su definición.
Valor principal
Definición
Para cada número complejo z distinto de cero , el valor principal Log z es el logaritmo cuya parte imaginaria se encuentra en el intervalo (- π , π ]. [2] La expresión Log 0 se deja sin definir ya que no hay un número complejo w que satisfaga e w = 0. [1]
Cuando aparece la notación log z sin que se haya especificado ningún logaritmo particular, generalmente es mejor asumir que se pretende el valor principal. En particular, esto da un valor consistente con el valor real de ln z cuando z es un número real positivo. Algunos autores [2] utilizan las mayúsculas en la notación Log para distinguir el valor principal de otros logaritmos de z .
Calcular el valor principal
Dado z = x + yi , elija una expresión de forma polar z = re iθ , donde r es un número real positivo y θ es real, de la siguiente manera:
- Dejar .
- Sea θ un ángulo en radianes tal que al girar el eje real positivo en sentido antihorario θ se obtiene el rayo en la dirección de z . Este θ no es del todo único, debido a la posibilidad de sumar un múltiplo entero de 2 π a θ , pero puede hacerse único al requerir que θ se encuentre en el intervalo (- π , π ]; este θ se llama el valor principal del argumento, y a veces se escribe Arg z o (especialmente en lenguajes de computadora) atan2 ( y , x ) , que concuerda con arctan ( y / x ) cuando x > 0 pero da un valor correcto para cualquier ( x , y ) ≠ (0, 0).
Luego
Por ejemplo, Log (−3 i ) = ln 3 - πi / 2, mientras que Log (−3) = ln 3 + πi .
El valor principal como función inversa
Otra forma de describir Log z es como la inversa de una restricción de la función exponencial compleja, como en la sección anterior. La franja horizontal S que consta de números complejos w = x + yi tal que - π < y ≤ π es un ejemplo de una región que no contiene dos números que difieran en un múltiplo entero de 2 πi , por lo que la restricción de la función exponencial a S tiene una inversa. De hecho, la función exponencial mapea S bijetivamente al plano complejo perforado, y la inversa de esta restricción es . La sección de mapeo conforme a continuación explica las propiedades geométricas de este mapa con más detalle.
Propiedades
No todas las identidades satisfechas por ln se extienden a números complejos. Es cierto que e Log z = z para todos z ≠ 0 (esto es lo que significa para Log z sea un logaritmo de z ), pero la identidad Log ae z = z falla por z fuera de la tira S . Por esta razón, no siempre se puede aplicar Log a ambos lados de una identidad e z = e w para deducir z = w . Además, la identidad Log ( z 1 z 2 ) = Log z 1 + Log z 2 puede fallar: los dos lados pueden diferir por un múltiplo entero de 2 πi ; [1] por ejemplo,
pero
La función Log z es discontinua en cada número real negativo, pero continua en todas partes en. Para explicar la discontinuidad, considere lo que le sucede a Arg z cuando z se acerca a un número real negativo a . Si z se acerca a a desde arriba, entonces Arg z se acerca a π , que también es el valor de Arg a en sí mismo. Pero si z se acerca a a desde abajo, entonces Arg z se acerca a - π . Entonces Arg z "salta" en 2 π cuando z cruza el eje real negativo, y de manera similar, Log z salta en 2 πi .
Ramas del logaritmo complejo
¿Hay una manera diferente para elegir un logaritmo de cada número complejo distinto de cero con el fin de hacer una función L ( z ) que es continua en todos los de? La respuesta es no. Para ver por qué, imagine rastrear una función logarítmica a lo largo del círculo unitario , evaluando L ( e iθ ) a medida que θ aumenta de 0 a 2 π . Si L ( z ) es continuo, entonces también lo es L ( e iθ ) - iθ , pero este último es una diferencia de dos logaritmos de e iθ , por lo que toma valores en el conjunto discreto, por lo que es constante. En particular, L ( e 2 πi ) - 2 πi = L ( e 0 ) - 0, lo que contradice L ( e 2 πi ) = L (1) = L ( e 0 ).
Para obtener un logaritmo continuo definido en números complejos, es necesario restringir el dominio a un subconjunto U más pequeño del plano complejo. Debido a que uno de los objetivos es poder diferenciar la función, es razonable suponer que la función se define en una vecindad de cada punto de su dominio; en otras palabras, U debería ser un conjunto abierto . Además, es razonable suponer que U está conectado , ya que de lo contrario los valores de la función en diferentes componentes de U podrían no estar relacionados entre sí. Todo esto motiva la siguiente definición:
- Una rama de log z es una función continua L ( z ) definida en un subconjunto abierto conectado U del plano complejo tal que L ( z ) es un logaritmo de z para cada z en U . [2]
Por ejemplo, el valor principal define una rama en el conjunto abierto donde es continua, que es el conjunto obtenido al eliminar 0 y todos los números reales negativos del plano complejo.
Otro ejemplo: la serie Mercator
converge localmente de manera uniforme para | u | <1, por lo que establecer z = 1+ u define una rama de log z en el disco abierto de radio 1 centrado en 1. (En realidad, esto es solo una restricción de Log z , como se puede demostrar al diferenciar la diferencia y comparar valores a la 1.)
Una vez que se corrige una rama, se puede denotar "log z " si no puede producirse confusión. Sin embargo, diferentes ramas pueden dar diferentes valores para el logaritmo de un número complejo particular, por lo que una rama debe fijarse de antemano (o de lo contrario debe entenderse la rama principal) para que "log z " tenga un significado preciso e inequívoco.
Cortes de ramas
El argumento anterior que involucra el círculo unitario se generaliza para mostrar que no existe una rama de log z en un conjunto abierto U que contiene una curva cerrada que gira alrededor de 0. Para frustrar este argumento, U se elige típicamente como el complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va desde 0 (inclusive) hasta infinito en alguna dirección. En este caso, la curva se conoce como corte de rama . Por ejemplo, la rama principal tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo.
Si la función L ( z ) se amplía para definirse en un punto del corte de la rama, será necesariamente discontinua allí; en el mejor de los casos será continuo "en un lado", como Log z en un número real negativo.
La derivada del logaritmo complejo
Cada rama L ( z ) de log z en un conjunto abierto U es la inversa de una restricción de la función exponencial, es decir, la restricción a la imagen L ( U ) . Dado que la función exponencial es holomórfica (es decir, diferenciable compleja) con derivada que no desaparece, se aplica el análogo complejo del teorema de la función inversa . Esto demuestra que L ( z ) es holomorfa en U , y L '( z ) = 1 / z para cada z en U . [2] Otra forma de demostrar esto es comprobar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares . [2]
Construcción de sucursales mediante integración
La función verdadero se puede construir mediante la fórmula
Si el intervalo de integración se inició a un número positivo un distinto de 1, la fórmula tendría que ser
en lugar de.
Al desarrollar el análogo para el logaritmo complejo , existe una complicación adicional: la definición de la integral compleja requiere una elección de camino. Afortunadamente, si el integrando es holomórfico, entonces el valor de la integral no cambia al deformar la ruta (mientras se mantienen fijos los puntos finales), y en una región U simplemente conectada (una región sin "agujeros"), cualquier ruta de a a z dentro de U se puede deformar continuamente dentro de U en cualquier otro. Todo esto conduce a lo siguiente:
- Si U es un subconjunto abierto simplemente conectado de que no contenga 0, entonces se puede construir una rama de log z definida en U eligiendo un punto de partida a en U , eligiendo un logaritmo b de a , y definiendo
- para cada z en U . [5]
El logaritmo complejo como mapa conforme
Cualquier mapa holomórfico satisfactorio para todos es un mapa conforme , lo que significa que si dos curvas que pasan por un punto a de U forman un ángulo α (en el sentido de que las líneas tangentes a las curvas en a forman un ángulo α ), entonces las imágenes de las dos curvas forman el mismo ángulo α en f ( a ). Dado que una rama de log z es holomórfica, y dado que su derivada 1 / z nunca es 0, define un mapa conforme.
Por ejemplo, la rama principal w = Log z , vista como un mapeo dea la franja horizontal definida por | Im z | < π , tiene las siguientes propiedades, que son consecuencias directas de la fórmula en términos de forma polar:
- Los círculos [6] en el plano z centrado en 0 se asignan a segmentos verticales en el plano w que conecta a - πi a a + πi , donde a es el logaritmo real del radio del círculo.
- Los rayos que emanan de 0 en el plano z se asignan a líneas horizontales en el plano w .
Cada círculo y rayo en el plano z como arriba se encuentran en un ángulo recto. Sus imágenes debajo de Log son un segmento vertical y una línea horizontal (respectivamente) en el plano w , y estos también se encuentran en un ángulo recto. Ésta es una ilustración de la propiedad conforme de Log.
La superficie de Riemann asociada
Construcción
Las diversas ramas de log z no se pueden pegar para dar una única función continuaporque dos ramas pueden dar valores diferentes en un punto donde ambos están definidos. Compare, por ejemplo, la rama principal Log ( z ) encon la parte imaginaria θ en (- π , π ) y la rama L ( z ) encuya parte imaginaria θ se encuentra en (0,2 π ) . Estos coinciden en el semiplano superior , pero no en el semiplano inferior. Por lo tanto, tiene sentido pegar los dominios de estas ramas solo a lo largo de las copias del semiplano superior . El dominio pegado resultante está conectado, pero tiene dos copias del semiplano inferior. Esas dos copias se pueden visualizar como dos niveles de un estacionamiento, y uno puede ir desde el nivel Log del semiplano inferior hasta el nivel L del semiplano inferior yendo 360 ° en sentido antihorario alrededor de 0 , primero cruzando el real positivo. eje (del nivel Log ) en la copia compartida del semiplano superior y luego cruzando el eje real negativo (del nivel L ) en el nivel L del semiplano inferior.
Se puede continuar pegando ramas con parte imaginaria θ en ( π , 3 π ) , en (2 π , 4 π ) , y así sucesivamente, y en la otra dirección, ramas con parte imaginaria θ en (−2 π , 0) , en (−3 π , - π ) , y así sucesivamente. El resultado final es una superficie conectada que puede verse como un estacionamiento en espiral con infinitos niveles que se extienden tanto hacia arriba como hacia abajo. Esta es la superficie de Riemann R asociada a log z . [7]
Un punto en R se puede considerar como un par ( z , θ ) donde θ es un valor posible del argumento de z . De esta manera, R se puede incrustar en.
La función logarítmica en la superficie de Riemann
Debido a que los dominios de las ramas se pegaron solo a lo largo de conjuntos abiertos donde sus valores coincidían, las ramas se pegan para dar una única función bien definida. . [8] Asigna cada punto ( z , θ ) de R a ln | z | + iθ . Este proceso de extender el registro de la rama original mediante la unión de funciones holomórficas compatibles se conoce como continuación analítica .
Hay un "mapa de proyección" desde R hastaque "aplana" la espiral, enviando ( z , θ ) a z . Para cualquier, si se toman todos los puntos ( z , θ ) de R que se encuentran "directamente encima" de z y se evalúa log R en todos estos puntos, se obtienen todos los logaritmos de z .
Pegado de todas las ramas de log z
En lugar de pegar solo las ramas elegidas anteriormente, se puede comenzar con todas las ramas de log z , y simultáneamente pegar cada par de ramas y a lo largo del subconjunto abierto más grande de en las que L 1 y L 2 coinciden. Esto produce la misma superficie de Riemann R y la misma función log R que antes. Este enfoque, aunque un poco más difícil de visualizar, es más natural en el sentido de que no requiere seleccionar ninguna rama en particular.
Si U ′ es un subconjunto abierto de R que se proyecta biyectivamente a su imagen U en, A continuación, la restricción de registro R a U corresponde 'a una rama de log z definida en U . Cada rama de log z surge de esta manera.
La superficie Riemann como cubierta universal
El mapa de proyección se da cuenta de R como un espacio de cobertura de. De hecho, es un revestimiento de Galois con grupo de transformación de cubierta isomorfo a, generado por el homeomorfismo que envía ( z , θ ) a ( z , θ +2 π ).
Como variedad compleja , R es biholomorfo cona través de log R . (El mapa inverso envía z a ( e z , Im z ).) Esto muestra que R está simplemente conectado, por lo que R es la cobertura universal de.
Aplicaciones
- El logaritmo complejo es necesario para definir la exponenciación en la que la base es un número complejo. A saber, si un y b son números complejos con un ≠ 0 , se puede utilizar el valor principal para definir una b = e b Log una . También se puede reemplazar Log a por otros logaritmos de a para obtener otros valores de a b , que difieran en factores de la forma e 2π inb . [1] [9] La expresión a b tiene un solo valor si y solo si b es un número entero. [1]
- Dado que el mapeo w = Log z transforma los círculos centrados en 0 en segmentos de línea recta vertical, es útil en aplicaciones de ingeniería que involucran un anillo . [ cita requerida ]
Generalizaciones
Logaritmos a otras bases
Del mismo modo que para los números reales, se puede definir para los números complejos b y x
con la única salvedad de que su valor depende de la elección de una rama de registro definido en b y x (con log b ≠ 0). Por ejemplo, usar el valor principal da
Logaritmos de funciones holomorfas
Si f es una función holomórfica en un subconjunto abierto conectado U de, A continuación, una rama de log f en U es una función continua g en U de tal manera que e g ( z ) = f ( z ) para todo z en U . Tal función g es necesariamente holomorphic con g ' ( z ) = f' ( z ) / f ( z ) para todo z en U .
Si U es un subconjunto abierto simplemente conectado de, yf es una función holomórfica que no desaparece en ninguna parte en U , entonces se puede construir una rama de log f definida en U eligiendo un punto de partida a en U , eligiendo un logaritmo b de f ( a ) y definiendo
para cada z en U . [2]
Ver también
- Arg (matemáticas)
- Exponenciación
- Funciones trigonométricas inversas
- Logaritmo
- Logaritmo natural
Notas
- ^ a b c d e f g Ahlfors, Sección 3.4.
- ^ a b c d e f g h Sarason, Sección IV.9.
- ^ Conway, pág. 39.
- ^ Otra interpretación de esto es que la "inversa" de la función exponencial compleja es una función multivalor que toma cada número complejo distinto de cero z al conjunto de todos los logaritmos de z .
- ^ Lang, pág. 121.
- ^ Estrictamente hablando, el punto de cada círculo en el eje real negativo debe descartarse, o el valor principal debe usarse allí.
- ^ Ahlfors, sección 4.3.
- ^ Las notaciones R y log R no se utilizan universalmente.
- ^ Kreyszig, p. 640.
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1966). Análisis complejo (2ª ed.). McGraw-Hill.
- Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja (2ª ed.). Saltador.
- Kreyszig, Erwin (2011). Matemáticas de ingeniería avanzada (10ª ed.). Berlín: Wiley . ISBN 9780470458365.
- Lang, Serge (1993). Análisis complejo (3ª ed.). Springer-Verlag.
- Moretti, Gino (1964). Funciones de una variable compleja . Prentice Hall.
- Sarason, Donald (2007). Teoría de funciones complejas (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense.
- Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (Cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.