En matemáticas , en la teoría de funciones de varias variables complejas , un dominio de holomorfia es un conjunto que es máximo en el sentido de que existe una función holomórfica en este conjunto que no puede extenderse a un conjunto mayor.
Formalmente, un conjunto abierto en el espacio complejo n -dimensionalse llama dominio de holomorfia si no existen conjuntos abiertos no vacíos y dónde está conectado , y tal que para cada función holomórfica en existe una función holomorfa en con en
En el En este caso, todo conjunto abierto es un dominio de holomorfia: podemos definir una función holomórfica con ceros acumulados en todas partes en el límite del dominio, que debe ser entonces un límite natural para un dominio de definición de su recíproco. Paraesto ya no es cierto, como se desprende del lema de Hartogs .
Condiciones equivalentes
Por un dominio Las siguientes condiciones son equivalentes:
- es un dominio de holomorfia
- es holomórficamente convexo
- es pseudoconvexo
- es Levi convexo - para cada secuencia de superficies compactas analíticas tales que por algún set tenemos ( no puede ser "tocado desde adentro" por una secuencia de superficies analíticas)
- tiene propiedad local de Levi - para cada punto existe un barrio de y holomórfico en tal que no se puede extender a ningún barrio de
Trascendencia son resultados estándar (para , vea el lema de Oka ). La principal dificultad radica en demostrar, es decir, la construcción de una función holomórfica global que no admite extensión de funciones no ampliables definidas sólo localmente. Esto se llama el problema de Levi (después de EE Levi ) y fue resuelto primero por Kiyoshi Oka , y luego por Lars Hörmander usando métodos de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia de-problema ).
Propiedades
- Si son dominios de holomorfia, entonces su intersección también es un dominio de la holomorfia.
- Si es una secuencia ascendente de dominios de holomorfia, entonces su unión también es un dominio de la holomorfia (véase el teorema de Behnke-Stein ).
- Si y son dominios de holomorfia, entonces es un dominio de la holomorfia.
- El problema del primer primo siempre se puede resolver en un dominio de holomorfia; esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el segundo problema de Cousin .
Ver también
- Teorema de Behnke-Stein
- Levi pseudoconvexo
- solución del problema de Levi
- Colector de Stein
Referencias
- Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
- Boris Vladimirovich Shabat, Introducción al análisis complejo , AMS, 1992
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