Motivo (geometría algebraica)

En geometría algebraica , motivos (oa veces motivos , siguiendo el uso francés ) es una teoría propuesta por Alexander Grothendieck en la década de 1960 para unificar la amplia gama de teorías de cohomología de comportamiento similar , como la cohomología singular , la cohomología de Rham , la cohomología etale y la cohomología cristalina . Filosóficamente, un "motivo" es la "esencia de cohomología" de una variedad .

En la formulación de Grothendieck para variedades proyectivas suaves, un motivo es un triple , donde X es una variedad proyectiva suave, es una correspondencia idempotente ym un número entero , sin embargo, tal triple no contiene casi ninguna información fuera del contexto de la categoría de Grothendieck de motivos puros, donde un morfismo de a viene dado por una correspondencia de grado . Pierre Deligne adopta un enfoque más centrado en el objeto en Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . En ese artículo, un motivo es un "sistema de realizaciones", es decir, una tupla ${\ Displaystyle (X, p, m)}$ ${\ Displaystyle p: X \ vdash X}$ ${\ Displaystyle (X, p, m)}$ ${\ Displaystyle (Y, q, n)}$ ${\ Displaystyle nm}$

entre los evidentes cambios de base de estos módulos, filtraciones , una -acción sobre y un automorfismo de "Frobenius" de . Estos datos se modelan en las cohomologías de una variedad proyectiva suave y las estructuras y compatibilidades que admiten, y dan una idea de qué tipo de información contiene un motivo. ${\ Displaystyle W, F}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbb {Q}}}, \ mathbb {Q})}$ ${\ Displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle M _ {\ mathbb {A} ^ {f}},}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {p}}$ ${\ displaystyle M _ {\ operatorname {cris}, p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

La teoría de los motivos se conjeturó originalmente como un intento de unificar una serie de teorías de cohomología que se multiplican rápidamente, incluida la cohomología de Betti, la cohomología de De Rham , la cohomología l -ádica y la cohomología cristalina . La esperanza general es que ecuaciones como

se puede colocar sobre una base matemática cada vez más sólida con un significado profundo. Por supuesto, ya se sabe que las ecuaciones anteriores son verdaderas en muchos sentidos, como en el sentido de complejo CW, donde "+" corresponde a células adjuntas, y en el sentido de varias teorías de cohomología, donde "+" corresponde a la suma directa.