En matemáticas , los grupos de cohomología étale de una variedad o esquema algebraico son análogos algebraicos de los grupos de cohomología usuales con coeficientes finitos de un espacio topológico , introducidos por Grothendieck para probar las conjeturas de Weil . La teoría de la cohomología de Étale se puede utilizar para construir una cohomología ℓ-ádica , que es un ejemplo de una teoría de la cohomología de Weil en geometría algebraica. Esto tiene muchas aplicaciones, como la demostración de las conjeturas de Weil y la construcción de representaciones de grupos finitos de tipo Lie .
La cohomología de Étale fue introducida por Alexander Grothendieck ( 1960 ), utilizando algunas sugerencias de Jean-Pierre Serre , y fue motivada por el intento de construir una teoría de cohomología de Weil para probar las conjeturas de Weil . Los cimientos fueron elaborados poco después por Grothendieck junto con Michael Artin y publicados como ( Artin 1962 ) y SGA 4 . Grothendieck usó la cohomología étale para probar algunas de las conjeturas de Weil ( Bernard Dwork ya había logrado probar la parte de racionalidad de las conjeturas en 1960 usando p-adicmétodos), y la conjetura restante, el análogo de la hipótesis de Riemann fue demostrado por Pierre Deligne (1974) utilizando ℓ-cohomología ádica.
Se encontró un mayor contacto con la teoría clásica en la forma de la versión de Grothendieck del grupo de Brauer ; esto fue aplicado en poco tiempo a la geometría diofántica , por Yuri Manin . La carga y el éxito de la teoría general fue ciertamente integrar toda esta información y probar resultados generales como la dualidad de Poincaré y el teorema del punto fijo de Lefschetz en este contexto.
Grothendieck desarrolló originalmente la cohomología étale en un entorno extremadamente general, trabajando con conceptos como los topos de Grothendieck y los universos de Grothendieck . En retrospectiva, gran parte de esta maquinaria resultó innecesaria para la mayoría de las aplicaciones prácticas de la teoría del étale, y Deligne (1977) dio una exposición simplificada de la teoría de la cohomología del étale. El uso de Grothendieck de estos universos (cuya existencia no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) llevó a algunas especulaciones de que la cohomología étale y sus aplicaciones (como la prueba del último teorema de Fermat ) requieren axiomas más allá de ZFC. Sin embargo, en la práctica, la cohomología étale se usa principalmente en el caso de poleas construibles.sobre esquemas de tipo finito sobre los enteros, y esto no necesita axiomas profundos de la teoría de conjuntos: con cuidado, los objetos necesarios se pueden construir sin usar ningún conjunto incontable, y esto se puede hacer en ZFC, e incluso en teorías mucho más débiles.
La cohomología Étale encontró rápidamente otras aplicaciones, por ejemplo, Deligne y George Lusztig la usaron para construir representaciones de grupos finitos de tipo Lie ; véase la teoría de Deligne-Lusztig .
Para variedades algebraicas complejas, las invariantes de la topología algebraica, como el grupo fundamental y los grupos de cohomología, son muy útiles, y a uno le gustaría tener análogos de estos para variedades sobre otros campos, como campos finitos. (Una de las razones de esto es que Weil sugirió que las conjeturas de Weil podrían probarse usando una teoría de cohomología de este tipo). En el caso de la cohomología de haces coherentes , Serre demostró que se podía obtener una teoría satisfactoria simplemente usando la topología de Zariski.de la variedad algebraica, y en el caso de variedades complejas esto da los mismos grupos de cohomología (para haces coherentes) que la topología compleja mucho más fina. Sin embargo, para gavillas constantes como la gavilla de enteros esto no funciona: los grupos de cohomología definidos usando la topología de Zariski se comportan mal. Por ejemplo, Weil imaginó una teoría de cohomología para variedades sobre campos finitos con un poder similar a la cohomología singular habitual de espacios topológicos, pero de hecho, cualquier haz constante en una variedad irreducible tiene una cohomología trivial (todos los grupos de cohomología superior desaparecen).