En matemáticas , una forma modular mock es la holomorphic parte de un débil armónico forma Maass , y una función theta mock es esencialmente una forma modular simulacro de peso 1 / 2 . Los primeros ejemplos de funciones theta simuladas fueron descritos por Srinivasa Ramanujan en su última carta de 1920 a GH Hardy y en su cuaderno perdido . Sander Zwegers descubrió que agregarles ciertas funciones no holomórficas las convierte en formas armónicas débiles de Maass. [1] [2]
"Suponga que hay una función en la forma euleriana y suponga que todos o una infinidad de puntos son singularidades exponenciales, y también suponga que en estos puntos la forma asintótica se cierra tan claramente como en los casos de (A) y (B). La pregunta es: ¿Se toma la función como la suma de dos funciones, una de las cuales es una función θ ordinaria y la otra es una función (trivial) que es O (1) en todos los puntos e 2 m π i / n ? ... Cuando no es así, llamo a la función una función θ simulada ".
La carta de Ramanujan del 12 de enero de 1920 a Hardy [3] enumeró 17 ejemplos de funciones que él llamó funciones theta simuladas, y su cuaderno perdido [4] contenía varios ejemplos más. (Ramanujan utiliza el término "theta función" para lo que hoy se denomina una forma modular.) Ramanujan señalado que tienen una expansión asintótica en las cúspides, similar a la de las formas modulares de peso 1 / 2 , posiblemente con polos en cúspides , pero no puede expresarse en términos de funciones theta "ordinarias" . Llamó a las funciones con propiedades similares "funciones theta simuladas". Más tarde, Zwegers descubrió la conexión de la función theta simulada con formas débiles de Maass.
Ramanujan asoció un orden a sus funciones theta simuladas, que no estaba claramente definido. Antes del trabajo de Zwegers, las órdenes de funciones theta simuladas conocidas incluían
Noción de orden de Ramanujan tarde resultó corresponden al conductor del carácter Nebentypus del peso 1 / 2 formas armónicas Maass que admiten funciones theta simulacros de Ramanujan como sus proyecciones holomorfas.
En las siguientes décadas, Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh y otros estudiaron las funciones theta simuladas de Ramanujan, quienes probaron las declaraciones de Ramanujan sobre ellas y encontraron varios ejemplos e identidades más. (La mayoría de las "nuevas" identidades y ejemplos ya eran conocidos por Ramanujan y reaparecieron en su cuaderno perdido.) En 1936, Watson descubrió que bajo la acción de elementos del grupo modular , las funciones theta simuladas de orden 3 casi se transforman como formas modulares. de peso 1 / 2 (multiplicado por potencias adecuadas de q ), excepto que hay "términos de error" en las ecuaciones funcionales, dan generalmente como integrales explícitos. [5] Sin embargo, durante muchos años no hubo una buena definición de una función theta simulada. Esto cambió en 2001 cuando Zwegers descubrió la relación con formas modulares no holomórficas, sumas de Lerch y series theta indefinidas. Zwegers mostraron, utilizando el trabajo previo de Watson y Andrews, que las funciones theta simulacros de pedidos 3, 5, y 7 pueden escribirse como la suma de una forma Maass débil de peso 1 / 2 y una función que está limitada a lo largo de geodésicas que terminan en las cúspides. [2] La forma Maass débil tiene valor propio 3 / 16 bajo el laplaciano hiperbólica (el mismo valor que las formas modulares holomórficas de peso 1 / 2 ); sin embargo, aumenta exponencialmente rápido cerca de las cúspides, por lo que no satisface la condición de crecimiento habitual para las formas de onda de Maass . Zwegers demostró este resultado de tres formas diferentes, relacionando las funciones theta simuladas con las funciones theta de Hecke de celosías indefinidas de dimensión 2, y con las sumas de Appell-Lerch y con las formas meromórficas de Jacobi.