La descomposición generalizada adecuada ( PGD ) es un método numérico iterativo para resolver problemas de valores en la frontera (BVP), es decir, ecuaciones diferenciales parciales restringidas por un conjunto de condiciones de frontera, como la ecuación de Poisson o la ecuación de Laplace .
El algoritmo PGD calcula una aproximación de la solución del BVP por enriquecimiento sucesivo. Esto significa que, en cada iteración, se calcula un nuevo componente (o modo ) y se agrega a la aproximación. En principio, cuantos más modos se obtengan, más cercana es la aproximación a su solución teórica. A diferencia de los componentes principales de POD , los modos PGD no son necesariamente ortogonales entre sí.
Seleccionando solo los modos PGD más relevantes, se obtiene un modelo de orden reducido de la solución. Debido a esto, PGD se considera un algoritmo de reducción de dimensionalidad .
Descripción
La descomposición generalizada adecuada es un método caracterizado por
- una formulación variacional del problema,
- una discretización del dominio al estilo del método de elementos finitos ,
- la suposición de que la solución se puede aproximar como una representación separada y
- un algoritmo codicioso numérico para encontrar la solución. [1] [2]
Formulación variacional
La formulación variacional más implementada en PGD es el método de Bubnov-Galerkin , [3] [4] aunque existen otras implementaciones. [5] [3]
Discretización de dominio
La discretización del dominio es un conjunto bien definido de procedimientos que cubren (a) la creación de mallas de elementos finitos, (b) la definición de la función base en elementos de referencia (también llamados funciones de forma) y (c) el mapeo de elementos de referencia sobre los elementos de la malla.
Representación separada
PGD asume que la solución u de un problema (multidimensional) puede aproximarse como una representación separada de la forma
donde el número de sumandos N y los productos funcionales X 1 ( x 1 ), X 2 ( x 2 ), ..., X d ( x d ), cada uno dependiendo de una variable (o variables), se desconocen de antemano.
Algoritmo codicioso
La solución se busca aplicando un algoritmo codicioso , generalmente el algoritmo de punto fijo , a la formulación débil del problema. Para cada iteración i del algoritmo, se calcula un modo de la solución. Cada modo consta de un conjunto de valores numéricos de los productos funcionales X 1 ( x 1 ), ..., X d ( x d ), que enriquecen la aproximación de la solución. Debido a la naturaleza codiciosa del algoritmo, se utiliza el término "enriquecer" en lugar de "mejorar", ya que algunos modos pueden empeorar el enfoque. El número de modos calculados necesarios para obtener una aproximación de la solución por debajo de un cierto umbral de error depende del criterio de parada del algoritmo iterativo.
Características
El PGD es adecuado para resolver problemas de alta dimensión, ya que supera las limitaciones de los enfoques clásicos. En particular, PGD evita la maldición de la dimensionalidad , ya que resolver problemas desacoplados es computacionalmente mucho menos costoso que resolver problemas multidimensionales.
Por lo tanto, PGD permite readaptar problemas paramétricos en un marco multidimensional estableciendo los parámetros del problema como coordenadas extra:
donde se ha incorporado a la ecuación una serie de productos funcionales K 1 ( k 1 ), K 2 ( k 2 ), ..., K p ( k p ), cada uno dependiendo de un parámetro (o parámetros).
En este caso, la aproximación obtenida de la solución se denomina vademécum computacional : un metamodelo general que contiene todas las soluciones particulares para cada valor posible de los parámetros involucrados. [6]
Aprendizaje escaso del subespacio
El método Sparse Subspace Learning (SSL) aprovecha el uso de la colocación jerárquica para aproximar la solución numérica de los modelos paramétricos. Con respecto al modelado tradicional de orden reducido basado en proyecciones, el uso de una colocación permite un enfoque no intrusivo basado en un muestreo adaptativo disperso del espacio paramétrico. Esto permite recuperar la estructura de baja dimensión del subespacio de la solución paramétrica al tiempo que aprende la dependencia funcional de los parámetros en forma explícita. Se puede construir una representación tensorial aproximada de rango bajo escasa de la solución paramétrica a través de una estrategia incremental que solo necesita tener acceso a la salida de un solucionador determinista. La no intrusión hace que este enfoque sea directamente aplicable a problemas desafiantes caracterizados por la no linealidad o formas débiles no afines. [7]
Referencias
- ^ Amine Ammar, Béchir Mokdad, Francisco Chinesta, Roland Keunings (2006). "Una nueva familia de solucionadores para algunas clases de ecuaciones diferenciales parciales multidimensionales encontradas en el modelado de teoría cinética de fluidos complejos" . Revista de mecánica de fluidos no newtoniana .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Amine Ammar, Béchir Mokdad, Francisco Chinesta, Roland Keunings (2007). "Una nueva familia de solucionadores para algunas clases de ecuaciones diferenciales parciales multidimensionales encontradas en el modelado de la teoría cinética de fluidos complejos. Parte II: Simulación de transitorios utilizando representaciones separadas espacio-tiempo" . Revista de mecánica de fluidos no newtoniana .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b Croft, Thomas Lloyd David (9 de abril de 2015). Descomposiciones generalizadas adecuadas: teoría y aplicaciones (tesis doctoral). Universidad de Cardiff.
- ^ Chinesta, Francisco; Keunings, Roland; Leygue, Adrien (2014). La descomposición generalizada adecuada para simulaciones numéricas avanzadas: una introducción . SpringerBriefs en Ciencias Aplicadas y Tecnología. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-02864-4.
- ^ Aguado, José Vicente (18 de noviembre de 2018). "Estrategias avanzadas para la formulación separada de problemas en el marco de descomposición generalizada adecuada" .
- ^ Francisco Chinesta, Adrien Leygue, Felipe Bordeu, Elías Cueto, David González, Amine Ammar, Antonio Huerta (2013). "Vademécum computacional basado en PGD para un diseño, optimización y control eficientes" . Archivos de métodos computacionales en ingeniería .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Borzacchiello, Domenico; Aguado, José V .; Chinesta, Francisco (abril de 2019). "Aprendizaje subespacial disperso no intrusivo para problemas parametrizados" . Archivos de métodos computacionales en ingeniería . 26 (2): 303–326. doi : 10.1007 / s11831-017-9241-4 . ISSN 1134-3060 .