Teorema de Mohr-Mascheroni

En matemáticas , el teorema de Mohr-Mascheroni establece que cualquier construcción geométrica que se pueda realizar con un compás y una regla se puede realizar solo con un compás.

Debe entenderse que por "cualquier construcción geométrica" nos referimos a figuras que no contienen líneas rectas, ya que es claramente imposible trazar una línea recta sin regla. Se entiende que se determina una línea siempre que se den o se construyan dos puntos distintos en esa línea, aunque no haya ninguna representación visual de la línea. El teorema puede expresarse con mayor precisión como: ^[1]

Cualquier construcción euclidiana, en la medida en que los elementos indicados y requeridos sean puntos (o círculos), se puede completar con el compás solo si se puede completar con el compás y la regla juntas.

Aunque el uso de una regla puede hacer una construcción mucho más fácil, el teorema muestra que cualquier conjunto de puntos que defina completamente una figura construida se puede determinar solo con el compás, y la única razón para usar una regla es la estética de ver líneas rectas. , que a los efectos de la construcción es funcionalmente innecesario.

Historia

El resultado fue publicado originalmente por Georg Mohr en 1672, ^[2] pero su prueba languideció en la oscuridad hasta 1928. ^[3]^[4]^[5] El teorema fue descubierto independientemente por Lorenzo Mascheroni en 1797 y fue conocido como Teorema de Mascheroni hasta El trabajo de Mohr fue redescubierto. ^[6]

Motivado por el resultado de Mascheroni, en 1822 Jean Victor Poncelet conjeturó una variación sobre el mismo tema. Propuso que cualquier construcción posible con regla y compás podría hacerse solo con regla. Sin embargo, la única estipulación es que se debe proporcionar un solo círculo con su centro identificado. El teorema de Poncelet-Steiner fue probado por Jakob Steiner once años más tarde. Esta fue una generalización de las pruebas dadas por Ferrari y Cardano y varios otros en el siglo XVI donde demostraron que todas las construcciones que aparecen en los Elementos de Euclides eran posibles con una regla y un compás "oxidado" (ancho fijo). ^[7]

Enfoque de prueba constructiva

Para probar el teorema, es necesario probar que cada una de las construcciones básicas de compás y regla es posible utilizando solo una brújula, ya que estos son los fundamentos o pasos elementales de todas las demás construcciones. Estos son:

Creando la línea a través de dos puntos existentes
Creando el círculo a través de un punto con centro en otro punto
Crear el punto que es la intersección de dos líneas no paralelas existentes
Crear uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan)
Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan).

# 1 - Una línea que pasa por dos puntos

Se entiende que no se puede trazar una línea recta sin una regla. Se considera que una línea está dada por dos puntos cualesquiera, ya que dos puntos cualesquiera definen una línea de forma única, y una línea única puede definirse por dos puntos cualesquiera en ella. De acuerdo con la intención del teorema que pretendemos demostrar, no es necesario trazar la línea real sino por razones estéticas. Este hecho se demostrará cuando se prueben todas las demás construcciones que involucran la línea.

# 2 - Un círculo a través de un punto con centro definido

Esto se puede hacer solo con la brújula de forma bastante natural; es el verdadero propósito para el que están diseñadas las brújulas. No hay nada que probar. Cualquier duda sobre esta construcción se aplicaría igualmente a las construcciones tradicionales que sí involucran una regla.

# 5 - Intersección de dos círculos

Esta construcción se puede hacer directamente con una brújula siempre que se conozcan los centros y radios de los dos círculos. Debido a la construcción del centro de un círculo solo con brújula (que se muestra a continuación), siempre se puede suponer que cualquier círculo se describe por su centro y radio. De hecho, algunos autores incluyen esto en sus descripciones de las construcciones básicas. ^[8]^[9]^[10]

# 3, # 4 - Las otras construcciones

Por lo tanto, para probar el teorema, solo es necesario dar construcciones de solo brújula para los números 3 y 4.

Pruebas alternativas

Se conocen varias pruebas del resultado. La prueba de Mascheroni de 1797 se basó generalmente en la idea de utilizar la reflexión en una línea como herramienta principal. La solución de Mohr fue diferente. ^[3] En 1890, August Adler publicó una prueba usando la transformación de inversión . ^[11]

Un enfoque algebraico utiliza el isomorfismo entre el plano euclidiano y el espacio de coordenadas real . Este enfoque se puede utilizar para proporcionar una versión más sólida del teorema. ^[12] También muestra la dependencia del teorema del axioma de Arquímedes (que no se puede formular en un lenguaje de primer orden ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Prueba constructiva

La siguiente notación se utilizará a lo largo de este artículo. Un círculo cuyo centro está ubicado en el punto $U$ y que pasa por el punto $V se$ indicará con $U (V)$ . Un círculo con centro $U$ y radio especificado por un número, $r$ , o un segmento de línea $AB$ se denotarán por $U (r)$ o $U (AB)$ , respectivamente. ^[13]

En las construcciones generales, a menudo hay varias variaciones que producirán el mismo resultado. Las elecciones realizadas en una variante de este tipo se pueden realizar sin pérdida de generalidad. Sin embargo, cuando se utiliza una construcción para demostrar que se puede hacer algo, no es necesario describir todas estas opciones y, en aras de la claridad de la exposición, a continuación solo se dará una variante. Sin embargo, muchas construcciones vienen en diferentes formas dependiendo de si usan o no inversión de círculo y estas alternativas se darán si es posible.

También es importante señalar que algunas de las construcciones que prueban el teorema de Mohr-Mascheroni requieren la ubicación arbitraria de puntos en el espacio, como encontrar el centro de un círculo cuando aún no se ha proporcionado (ver construcción a continuación). En algunos paradigmas de construcción, como en la definición geométrica del número construible , esto puede estar prohibido. En tal paradigma, sin embargo, por ejemplo, los círculos sin sus centros no serán proporcionados por hipótesis, por lo que no hay problema.

Algunas construcciones preliminares

Para probar las construcciones anteriores n. ° 3 y n. ° 4, que se incluyen a continuación, también se explican a continuación algunas construcciones intermedias necesarias, ya que se utilizan y se hace referencia a ellas con frecuencia. Estas también son construcciones de solo brújula. Todas las construcciones a continuación se basan en el n. ° 1, n. ° 2, n. ° 5 y cualquier otra construcción que se enumere antes.

Teorema de equivalencia de la brújula (traslación circular)

La capacidad de traducir, o copiar, un círculo a un nuevo centro es vital en estas demostraciones y fundamental para establecer la veracidad del teorema. La creación de un nuevo círculo con el mismo radio que el primero, pero centrado en un punto diferente, es la característica clave que distingue la brújula colapsada de la brújula rígida moderna. Con la brújula rígida esto es una trivialidad, pero con la brújula colapsada es una cuestión de posibilidad de construcción. Euclides (Libro I Proposición 2 de Los Elementos ) demostró la equivalencia de una brújula colapsada y una brújula rígida usando una regla y una brújula colapsada cuando, esencialmente, construye una copia de un círculo con un centro diferente. Esta equivalencia también se puede establecer solo con la brújula, una prueba de lo cual se puede encontrar en el artículo principal.

Reflejando un punto a través de una línea

Simetría de puntos

Dado un segmento de línea $AB$ y un punto $C que$ no está en la línea determinada por ese segmento, construya la imagen de $C$ tras la reflexión a través de esta línea.

Construir dos círculos: uno centrado en $A$ y uno centrado en $B$ , tanto de paso a través de $C$ .
D , el otro punto de intersección de los dos círculos, es el reflejo de C a través de la línea AB .
- Si $C = D$ (es decir, hay un punto único de intersección de los dos círculos), entonces $C$ es su propio reflejo y se encuentra en la línea $AB$ (contrariamente a la suposición), y los dos círculos son internamente tangenciales.

Extender la longitud de un segmento de línea

Una construcción de solo brújula para duplicar la longitud del segmento AB

Dado un segmento de línea $AB,$ encuentre un punto $C$ en la línea $AB$ tal que $B$ sea el punto medio del segmento de línea $AC$ . ^[14]

Construya el punto $D$ como la intersección de los círculos $A (B)$ y $B (A)$ . (∆ ABD es un triángulo equilátero).
Construya el punto $E \neq A$ como la intersección de los círculos $D (B)$ y $B (D)$ . (∆ DBE es un triángulo equilátero).
Finalmente, construya el punto $C \neq D$ como la intersección de los círculos $B (E)$ y $E (B)$ . (∆ EBC es un triángulo equilátero y los tres ángulos en $B$ muestran que $A, B y C$ son colineales).

Esta construcción se puede repetir tantas veces como sea necesario para encontrar un punto $Q de$ modo que la longitud del segmento de línea $AQ$ = $n$ ⋅ la longitud del segmento de línea $AB$ para cualquier número entero positivo $n$ .

Inversión en círculo

Inversión de puntos en un círculo

Dado un círculo $B (r)$ , para algún radio $r$ (en negro) y un punto $D (\neq B)$ construya el punto $I$ que es el inverso de $D$ en el círculo. ^[15] Naturalmente, no hay inversión para un punto . ${\ textstyle D = B}$

Dibuja un círculo $D (B)$ (en rojo).
Suponga que el círculo rojo se cruza con el círculo negro en E y E '
- si los círculos no se cruzan en dos puntos, vea a continuación una construcción alternativa.
- si los círculos se cruzan en un solo punto, es posible invertir simplemente duplicando la longitud de (cuadruplicando la longitud de ). ${\ Displaystyle E = E '}$ $D$ $EB$ $DB$
Refleja el centro del círculo a lo largo de la línea : $B$ $EE'$
1. Construya dos nuevos círculos $E (B)$ y $E ' (B)$ (en azul claro).
2. Los círculos de color azul claro se cortan en $B$ y en otro punto $I \neq B$ .
El punto $I$ es el inverso deseado de $D$ en el círculo negro.

El punto $I$ es tal que el radio $r$ de $B (r)$ es para $IB$ como $DB$ es para el radio; o $IB / r = r / DB$ .

En el caso de que la construcción anterior falle (es decir, el círculo rojo y el círculo negro no se cruzan en dos puntos), ^[16] encuentre un punto $Q$ en la línea $BD de$ modo que la longitud del segmento de línea $BQ$ sea una integral positiva. múltiplo, digamos $n$ , de la longitud de $BD$ y es mayor que $r / 2$ (esto es posible por el axioma de Arquímedes). Encuentre $Q '$ la inversa de $Q$ en el círculo $B (r)$ como arriba (los círculos rojo y negro ahora deben cruzarse en dos puntos). El punto $I$ ahora se obtiene extendiendo $BQ '$ de modo que $BI$ = $n \cdot BQ '$ .

Determinando el centro de un círculo a través de tres puntos

Construcción solo con brújula del centro de un círculo a través de tres puntos (A, B, C)

Dados tres puntos no colineales $A$ , $B$ y $C$ , encuentre el centro $O$ del círculo que determinan. ^[17]

Construya el punto $D$ , el inverso de $C$ en el círculo $A (B)$ .
Representativas $A$ en la línea $BD$ al punto $X$ .
$O$ es la inversa de $X$ en el círculo $A (B)$ .

Intersección de dos líneas no paralelas (construcción # 3)

Construcción solo con brújula de la intersección de dos líneas (no se muestran todos los pasos de construcción)

Líneas no paralelas dadas $AB$ y $CD$ , encuentran su punto de intersección, $X$ . ^[17]

Seleccione el círculo $O (r)$ de radio arbitrario cuyo centro $O$ no se encuentre en ninguna línea.
Invierta los puntos $A$ y $B del$ círculo $O (r)$ en los puntos $A '$ y $B'$ respectivamente.
La línea $AB$ se invierte al círculo que pasa por $O$ , $A '$ y $B'$ . Encuentra el centro $E$ de este círculo.
Invierta los puntos $C$ y $D$ en el círculo $O (r)$ a los puntos $C '$ y $D'$ respectivamente.
La línea $CD$ se invierte al círculo que pasa por $O$ , $C '$ y $D'$ . Encuentra el centro $F$ de este círculo.
Sea $Y \neq O$ la intersección de los círculos $E (O)$ y $F (O)$ .
$X$ es la inversa de $Y$ en el círculo $O (r)$ .

Intersección de una línea y un círculo (construcción # 4)

La construcción de solo brújula de los puntos de intersección de una línea y un círculo se divide en dos casos dependiendo de si el centro del círculo es o no colineal con la línea.

El centro del círculo no es colineal con la línea

Suponga que el centro del círculo no se encuentra en la línea.

Intersección línea-círculo (caso no colineal)

Dado un círculo $C (r)$ (en negro) y una línea $AB$ . Deseamos construir los puntos de intersección, $P$ y $Q$ , entre ellos (si existen). ^[9]^[18]

Construya el punto D , que es el reflejo del punto C a lo largo de la línea AB . (Véase más arriba.)
- Bajo el supuesto de este caso, $C \neq D$ .
Construye un círculo $D (r)$ (en rojo). (Ver arriba, equivalencia de la brújula).
Las intersecciones de círculo C ( r ) y el nuevo círculo rojo D ( r ) son puntos P y Q .
- Si los dos círculos son (externamente) tangenciales, entonces . $P=Q$
Los puntos P y Q son los puntos de intersección del círculo C ( r ) y la línea AB .
- Si entonces la línea es tangencial al círculo . $P=Q$ $C(r)$

También se puede dar una construcción alternativa, usando inversión de círculo. ^[17]

Dado un círculo $C (r)$ y una línea $AB$ . Deseamos construir los puntos de intersección, $P$ y $Q$ , entre ellos (si existen).

Invierta los puntos A y B del círculo C ( r ) en los puntos A ' y B' respectivamente.
- Bajo el supuesto de este caso, los puntos $A '$ , $B'$ y $C$ no son colineales.
Encuentre el centro $E$ del círculo que pasa por los puntos $C$ , $A '$ y $B'$ .
Construya el círculo $E (C)$ , que representa la inversión de la línea $AB$ en el círculo $C (r)$ .
P y Q son los puntos de intersección de los círculos C ( r ) y E ( C ) . ^[19]
- Si los dos círculos son (internamente) tangenciales , entonces , y la línea también es tangencial. $P=Q$

El centro del círculo es colineal con la línea

Compás solo construcción de la intersección de un círculo y una línea (centro del círculo en la línea)

Dado el círculo $C (D)$ cuyo centro $C se$ encuentra en la línea $AB$ , encuentre los puntos $P$ y $Q$ , los puntos de intersección del círculo y la línea. ^[20]

Construya el punto $D ' \neq D$ como la otra intersección de los círculos $A (D)$ y $C (D)$ .
Construya el punto $F$ como la intersección de los círculos $C (DD ')$ y $D (C)$ . ( $F$ es el cuarto vértice del paralelogramo $CD'DF$ .)
Construya el punto $F '$ como la intersección de los círculos $C (DD')$ y $D ' (C)$ . ( $F '$ es el cuarto vértice del paralelogramo $CDD'F'$ .)
Construya el punto $M$ como una intersección de los círculos $F (D ')$ y $F' (D)$ . ( $M se$ encuentra en $AB$ .)
Los puntos $P$ y $Q$ son las intersecciones de los círculos $F (CM)$ y $C (D)$ .

Así, se ha demostrado que toda la construcción básica que se puede realizar con una regla y un compás se puede hacer solo con un compás, siempre que se entienda que una línea no se puede trazar literalmente, sino simplemente definir por dos puntos.

Otros tipos de construcción restringida

Los matemáticos renacentistas Lodovico Ferrari y Niccolò Fontana Tartaglia pudieron demostrar que cualquier construcción podía realizarse con una regla y un compás de ancho fijo (es decir, un compás oxidado).

El Mohr-Mascheroni teorema se puede contrastar con el teorema de Poncelet-Steiner , que establece que cualquier construcción compás y una regla se puede realizar con sólo una regla, a condición de que al menos un círculo con centro identificado se da en el plano. Esto reduce el resultado de la brújula oxidada de Ferrari a un solo uso de una brújula.

Una prueba proporcionada más tarde en 1904 por Francesco Severi relaja el requisito de que se proporcione un círculo completo y muestra que cualquier arco pequeño del círculo, siempre que se proporcione el centro, sigue siendo suficiente. ^[21]

Además, el centro en sí puede omitirse en lugar de partes del arco, si se sustituye por otra cosa suficiente, como un segundo círculo concéntrico o que se interseca, o un tercer círculo, o un segundo círculo que no se interseca proporcione un punto en cualquiera de los dos. se da la línea central o el eje radial entre ellos.

Ver también

El problema de Napoleón
Geometrografia
Geometría inversora

Notas

^ Vísperas de 1963 , p. 201
↑ Georg Mohr, Euclides Danicus (Ámsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
↑ a b Eves , 1963 , pág. 199
^ Hjelmslev, J. (1928) "Om et af den danske matematiker Georg Mohr udgivet skrift Euclides Danicus , udkommet i Amsterdam i 1672" [De una memoria de Euclides Danicus publicada por el matemático danés Georg Mohr en 1672 en Amsterdam], Matematisk Tidsskrift B , páginas 1–7.
^ Schogt, JH (1938) " Euclides Danicus de Om Georg Mohr", Matematisk Tidsskrift A, páginas 34-36.
↑ Lorenzo Mascheroni, La Geometria del Compasso (Pavía: Pietro Galeazzi, 1797). Edición de 1901.
^ Retz, Merlyn; Keihn, Meta Darlene (1989), "Construcciones con brújula y regla", Temas históricos para el aula de matemáticas , Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM), p. 195, ISBN 9780873532815
^ Vísperas de 1963 , p. 202
↑ a b Hungerbühler , 1994 , p. 784
^ Pedoe 1988 , p.122
^ Vísperas de 1963 , p. 198
^ Arnon Avron , "Sobre la estricta constructibilidad fuerte con una brújula sola" , Journal of Geometry (1990) 38: 12.
^ Vísperas de 1963 , p. 184
^ Pedoe 1988 , p. 78
^ Pedoe 1988 , p. 77
^ Pedoe 1988 , p. 78
↑ a b c Pedoe , 1988 , p. 123
^ Vísperas de 1963 , p. 199
^ Pedoe lleva a cabo una inversión más en este punto, pero los puntos $P$ y $Q$ están en el círculo de inversión y, por lo tanto, son invariantes bajo esta última inversión innecesaria.
^ Vísperas de 1963 , p. 200
^ Retz y Keihn 1989 , p. 196

Referencias

Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Volumen uno) , Allyn y Bacon
Hungerbühler, Norbert (1994), "Una breve prueba elemental del teorema de Mohr-Mascheroni", The American Mathematical Monthly , 101 (8): 784–787, doi : 10.1080 / 00029890.1994.11997027
Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 978-0-486-65812-4

Otras lecturas

Pedoe, Dan (1995) [1957], "1 Sección 11: Geometría de la brújula", Circles / A Mathematical View , Asociación Matemática de América, págs. 23-25, ISBN 978-0-88385-518-8
Posamentier, Alfred S .; Geretschläger, Robert (2016), "8. Construcciones de Mascheroni utilizando solo la brújula", The Circle , Prometheus Books, págs. 197–216, ISBN 978-1-63388-167-9

enlaces externos

Construcción solo con la brújula

[1] Vísperas de 1963 , p. 201

[2] Georg Mohr, Euclides Danicus (Ámsterdam: Jacob van Velsen, 1672).

[Eves199-3] Eves , 1963 , pág. 199

[4] Hjelmslev, J. (1928) "Om et af den danske matematiker Georg Mohr udgivet skrift Euclides Danicus , udkommet i Amsterdam i 1672" [De una memoria de Euclides Danicus publicada por el matemático danés Georg Mohr en 1672 en Amsterdam], Matematisk Tidsskrift B , páginas 1–7.

[5] Schogt, JH (1938) " Euclides Danicus de Om Georg Mohr", Matematisk Tidsskrift A, páginas 34-36.

[6] Lorenzo Mascheroni, La Geometria del Compasso (Pavía: Pietro Galeazzi, 1797). Edición de 1901.

[7] Retz, Merlyn; Keihn, Meta Darlene (1989), "Construcciones con brújula y regla", Temas históricos para el aula de matemáticas , Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM), p. 195, ISBN 9780873532815

[8] Vísperas de 1963 , p. 202

[Hunger784-9] Hungerbühler , 1994 , p. 784

[10] Pedoe 1988 , p.122

[11] Vísperas de 1963 , p. 198

[12] Arnon Avron , "Sobre la estricta constructibilidad fuerte con una brújula sola" , Journal of Geometry (1990) 38: 12.

[13] Vísperas de 1963 , p. 184

[14] Pedoe 1988 , p. 78

[15] Pedoe 1988 , p. 77

[16] Pedoe 1988 , p. 78

[Pedoe123-17] Pedoe , 1988 , p. 123

[18] Vísperas de 1963 , p. 199

[19] Pedoe lleva a cabo una inversión más en este punto, pero los puntos $P$ y $Q$ están en el círculo de inversión y, por lo tanto, son invariantes bajo esta última inversión innecesaria.

[20] Vísperas de 1963 , p. 200

[21] Retz y Keihn 1989 , p. 196

[1]