En lógica , el cálculo de predicados monádicos (también llamado lógica monádica de primer orden ) es el fragmento de lógica de primer orden en el que todos los símbolos de relación en la firma son monádicos (es decir, toman solo un argumento) y no hay función símbolos. Todas las fórmulas atómicas son, por tanto, de la forma, dónde es un símbolo de relación y es una variable .
El cálculo de predicados monádicos se puede contrastar con el cálculo de predicados poliádicos, que permite símbolos de relación que toman dos o más argumentos.
Expresividad
La ausencia de símbolos de relación políada restringe severamente lo que se puede expresar en el cálculo de predicados monádicos. Es tan débil que, a diferencia del cálculo de predicados completo, es decidible : existe un procedimiento de decisión que determina si una fórmula dada de cálculo de predicados monádicos es lógicamente válida (verdadero para todos los dominios no vacíos ). [1] [2] Sin embargo, agregar un solo símbolo de relación binaria a la lógica monádica da como resultado una lógica indecidible.
Relación con la lógica del término
La necesidad de ir más allá de la lógica monádica no se apreció hasta el trabajo sobre la lógica de las relaciones , de Augustus De Morgan y Charles Sanders Peirce en el siglo XIX, y de Frege en su Begriffsschrifft de 1879 . Antes del trabajo de estos tres hombres, la lógica de términos (lógica silogística) se consideraba ampliamente adecuada para el razonamiento deductivo formal.
Todas las inferencias en lógica de términos se pueden representar en el cálculo de predicados monádicos. Por ejemplo el silogismo
- Todos los perros son mamíferos.
- Ningún mamífero es un pájaro.
- Por tanto, ningún perro es un pájaro.
puede notarse en el lenguaje del cálculo de predicados monádicos como
dónde , y denotan los predicados de ser, respectivamente, un perro, un mamífero y un pájaro.
Por el contrario, el cálculo de predicados monádico no es significativamente más expresivo que la lógica de términos. Cada fórmula en el cálculo de predicados monádicos es equivalente a una fórmula en la que los cuantificadores aparecen solo en subfórmulas cerradas de la forma
o
Estas fórmulas generalizan ligeramente los juicios básicos considerados en la lógica de términos. Por ejemplo, este formulario permite declaraciones como " Todo mamífero es herbívoro o carnívoro (o ambos) ",. Sin embargo, el razonamiento sobre tales afirmaciones todavía puede manejarse dentro del marco de la lógica de términos, aunque no solo por los 19 silogismos aristotélicos clásicos .
Tomando la lógica proposicional como dada, cada fórmula en el cálculo de predicados monádicos expresa algo que también puede formularse en lógica de términos. Por otro lado, una visión moderna del problema de la generalidad múltiple en la lógica tradicional concluye que los cuantificadores no pueden anidar de manera útil si no hay predicados poliádicos para relacionar las variables ligadas.
Variantes
El sistema formal descrito anteriormente se denomina a veces cálculo de predicado monádico puro , donde "puro" significa la ausencia de letras funcionales. Permitir letras de función monádica cambia la lógica solo superficialmente [ cita requerida ] , mientras que admitir incluso una sola letra de función binaria da como resultado una lógica indecidible.
La lógica monádica de segundo orden permite predicados de mayor aridad en las fórmulas, pero restringe la cuantificación de segundo orden a predicados unarios , es decir, las únicas variables de segundo orden permitidas son las variables de subconjunto .
Notas al pie
- ^ Heinrich Behmann , Beiträge zur Algebra der Logik, insbesondere zum Entscheidungsproblem , en Mathematische Annalen (1922)
- ↑ Löwenheim, L. (1915) "Über Möglichkeiten im Relativkalkül", Mathematische Annalen 76: 447-470. Traducido como "Sobre las posibilidades en el cálculo de parientes" en Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic , 1879-1931. Universidad de Harvard. Presione: 228-51.