Cono de monge

En la teoría matemática de ecuaciones diferenciales parciales (PDE), el cono de Monge es un objeto geométrico asociado con una ecuación de primer orden. Lleva el nombre de Gaspard Monge . En dos dimensiones, deja

${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0\qquad \qquad (1)}$

ser un PDE para una función desconocida de valor real u en dos variables x e y . Suponga que este PDE no es degenerado en el sentido de que y no son ambos cero en el dominio de definición. Fije un punto ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) y considere las funciones solución u que tienen${\displaystyle F_{u_{x}}}$${\displaystyle F_{u_{y}}}$

${\displaystyle z_{0}=u(x_{0},y_{0}).\qquad \qquad (2)}$

Cada solución a (1) que satisface (2) determina el plano tangente a la gráfica

${\displaystyle z=u(x,y)\,}$

a través del punto . A medida que varía el par ( u _x , u _y ) que resuelve (1), los planos tangentes envuelven un cono en R ³ con vértice en , llamado cono de Monge . Cuando F es cuasilineal , el cono de Monge degenera en una sola línea llamada eje de Monge . De lo contrario, el cono de Monge es un cono adecuado ya que una familia de planos de un parámetro no trivial y no coaxial a través de un punto fijo envuelve un cono. Explícitamente, la ecuación diferencial parcial original da lugar a una función escalar en el paquete cotangente de R ³${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$, definido en un punto ( x , y , z ) por

${\displaystyle a\,dx+b\,dy+c\,dz\mapsto F(x,y,z,-a/c,-b/c).}$

La desaparición de F determina una curva en el plano proyectivo con coordenadas homogéneas ( a : b : c ). La curva dual es una curva en el espacio proyectivo tangente en el punto, y el cono afín sobre esta curva es el cono de Monge. El cono puede tener múltiples ramas, cada una de las cuales es un cono afín sobre una simple curva cerrada en el espacio proyectivo tangente.

A medida que varía el punto base , el cono también varía. Por tanto, el cono de Monge es un campo de cono en R ³ . Por tanto, encontrar soluciones de (1) se puede interpretar como encontrar una superficie que es en todas partes tangente al cono de Monge en el punto. Este es el método de las características .${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

La técnica se generaliza a ecuaciones diferenciales parciales escalares de primer orden en n variables espaciales; a saber,

${\displaystyle F\left(x_{1},\dots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)=0.}$

A través de cada punto , el cono de Monge (o eje en el caso cuasilineal) es la envolvente de las soluciones de la PDE con .${\displaystyle (x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},z^{0})}$${\displaystyle u(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})=z^{0}}$

Ejemplos de

Ecuación de Eikonal

La ecuación completamente no lineal más simple es la ecuación eikonal . Esto tiene la forma

${\displaystyle |\nabla u|^{2}=1,}$

de modo que la función F está dada por

${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y})=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-1.}$

El cono dual consta de 1-formas a dx  +  b dy  +  c dz satisfaciendo

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

Tomado proyectivamente, esto define un círculo. La curva dual también es un círculo, por lo que el cono de Monge en cada punto es un cono adecuado.

Ver también

• Cono tangente

Referencias

• David Hilbert y Richard Courant (1989). Métodos de física matemática, Volumen 2 . Wiley Interscience.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Monge cone" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Monge, G. (1850). Application de l'analyse à la géométrie (en francés). Soltero.