semigrupo
En matemáticas, un semigrupo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria asociativa .
La operación binaria de un semigrupo se suele denotar multiplicativamente : x · y , o simplemente xy , denota el resultado de aplicar la operación de semigrupo al par ordenado ( x , y ) . La asociatividad se expresa formalmente como que ( x · y ) · z = x ·( y · z ) para todo x , y y z en el semigrupo.
Los semigrupos pueden ser considerados un caso especial de magmas , donde la operación es asociativa, o como una generalización de grupos , sin que se requiera la existencia de un elemento identidad o inversos. [nota 1] Como en el caso de grupos o magmas, la operación de semigrupo no necesita ser conmutativa , por lo que x · y no es necesariamente igual a y · x ; un ejemplo bien conocido de una operación que es asociativa pero no conmutativa es la multiplicación de matrices . Si la operación del semigrupo es conmutativa, entonces el semigrupo se denomina semigrupo conmutativo o (con menos frecuencia que en elcaso análogo de grupos ) puede llamarse un semigrupo abeliano .
Un monoide es una estructura algebraica intermedia entre grupos y semigrupos, y es un semigrupo que tiene un elemento de identidad , por lo que obedece a todos menos uno de los axiomas de un grupo: no se requiere la existencia de inversos de un monoide. Un ejemplo natural son las cadenas con concatenación como operación binaria y la cadena vacía como elemento de identidad. Restringir a cadenas no vacías da un ejemplo de un semigrupo que no es un monoide. Los enteros positivos con suma forman un semigrupo conmutativo que no es un monoide, mientras que los enteros no negativosforman un monoide. Un semigrupo sin un elemento de identidad se puede convertir fácilmente en un monoide simplemente agregando un elemento de identidad. En consecuencia, los monoides se estudian en la teoría de semigrupos más que en la teoría de grupos. Los semigrupos no deben confundirse con los cuasigrupos , que son una generalización de grupos en una dirección diferente; la operación en un cuasigrupo no necesita ser asociativa pero los cuasigrupos preservan de los grupos una noción de división . La división en semigrupos (o en monoides) no es posible en general.
El estudio formal de los semigrupos comenzó a principios del siglo XX. Los primeros resultados incluyen un teorema de Cayley para semigrupos que realiza cualquier semigrupo como semigrupo de transformación , en el que las funciones arbitrarias reemplazan el papel de las biyecciones de la teoría de grupos. Un resultado profundo en la clasificación de semigrupos finitos es la teoría de Krohn-Rhodes , análoga a la descomposición de Jordan-Hölder para grupos finitos. Algunas otras técnicas para estudiar semigrupos, como las relaciones de Green , no se parecen en nada a la teoría de grupos.
La teoría de los semigrupos finitos ha sido de particular importancia en la informática teórica desde la década de 1950 debido al vínculo natural entre los semigrupos finitos y los autómatas finitos a través del monoide sintáctico . En la teoría de la probabilidad , los semigrupos están asociados con los procesos de Markov . [1] En otras áreas de las matemáticas aplicadas , los semigrupos son modelos fundamentales para sistemas lineales invariantes en el tiempo . En las ecuaciones en derivadas parciales , un semigrupo está asociado a cualquier ecuación cuya evolución espacial es independiente del tiempo.
