En matemáticas, la base monomial de un anillo polinomial es su base (como un espacio vectorial o módulo libre sobre el campo o anillo de coeficientes ) que consta de todos los monomios . Los monomios forman una base porque cada polinomio puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de monomios (esto es una consecuencia inmediata de la definición de un polinomio).
Uno indeterminado
El anillo polinomial K [ x ] de polinomios univariados sobre un campo K es un espacio de K -vector, que tiene
como una base (infinita). De manera más general, si K es un anillo, entonces K [ x ] es un módulo libre que tiene la misma base.
Los polinomios de grado d como máximo forman también un espacio vectorial (o un módulo libre en el caso de un anillo de coeficientes), que tiene
como base.
La forma canónica de un polinomio es su expresión sobre esta base:
o, usando la notación sigma más corta :
La base monomial está naturalmente totalmente ordenada , ya sea por grados crecientes
o por grados decrecientes
Varios indeterminados
En el caso de varios indeterminados un monomio es un producto
donde el son números enteros no negativos . Comoun exponente igual a cero significa que el indeterminado correspondiente no aparece en el monomio; En particular es un monomio.
Similar al caso de los polinomios univariados, los polinomios en forman un espacio vectorial (si los coeficientes pertenecen a un campo) o un módulo libre (si los coeficientes pertenecen a un anillo), que tiene como base el conjunto de todos los monomios, llamado base monomial .
Los polinomios homogéneos de gradoforman un subespacio que tiene los monomios de gradocomo base. La dimensión de este subespacio es el número de monomios de grado, cual es
dónde es un coeficiente binomial .
Los polinomios de grado como máximo forman también un subespacio, que tiene los monomios de grado como máximo como base. El número de estos monomios es la dimensión de este subespacio, igual a
A diferencia del caso univariado, no existe un orden total natural de la base monomial en el caso multivariado. Para problemas que requieren elegir un orden total, como los cálculos de base de Gröbner , generalmente se elige un orden monomial admisible , es decir, un orden total en el conjunto de monomios tal que
y
por cada monomio