En álgebra abstracta , un ideal monomial es un ideal generado por monomios en un anillo polinomial multivariado sobre un campo .
Un ideal tórico es un ideal generado por diferencias de monomios (siempre que el ideal sea un ideal primario ). Una variedad algebraica afín o proyectiva definida por un ideal tórico o un ideal tórico homogéneo es una variedad tórica afín o proyectiva , posiblemente no normal .
Definiciones y propiedades
Dejar ser un campo y ser el anillo polinomial sobrecon n variables.
Un monomio en es un producto para una n- tupla de enteros no negativos.
Las siguientes tres condiciones son equivalentes para un ideal :
- es generado por monomios,
- Si , luego , siempre que es distinto de cero.
- es toro fijo , es decir, dado, luego se fija bajo la acción para todos .
Nosotros decimos eso es un ideal monomial si satisface alguna de estas condiciones equivalentes.
Dado un ideal monomial , es en si y solo si cada término ideal monomial de es un múltiplo de uno . [1]
Prueba: Supongamos y eso es en . Luego, para algunos .
Para todos , podemos expresar cada uno como la suma de monomios, de modo que puede escribirse como una suma de múltiplos de . Por eso, será una suma de múltiplos de términos monomiales para al menos uno de los .
Por el contrario, deja y deje que cada término monomial en ser un múltiplo de uno de los en . Entonces cada término monomial en se puede factorizar de cada monomio en . Por eso es de la forma para algunos , como resultado .
A continuación se ilustra un ejemplo de ideales monomiales y polinomiales.
Dejar luego el polinomio está en I , ya que cada término es un múltiplo de un elemento en J , es decir, se pueden reescribir como y tanto en lo . Sin embargo, si, entonces este polinomio no está en J , puesto que sus términos no son múltiplos de elementos en J .
Ideales monomiales y diagramas de Young
Un ideal monomial se puede interpretar como un diagrama de Young . Suponer, luego se puede interpretar en términos de los generadores de monomios mínimos como , dónde y . Los generadores monomiales mínimos depuede verse como las esquinas internas del diagrama de Young. Los generadores mínimos determinarían dónde dibujaríamos el diagrama de escalera. [2] Los monomios que no están ense encuentran dentro de la escalera, y estos monomios forman una base de espacio vectorial para el anillo del cociente .
Considere el siguiente ejemplo. Dejarser un ideal monomial. Luego, el conjunto de puntos de la cuadrícula corresponde a los generadores monomiales mínimos en . Luego, como muestra la figura, el diagrama de Young rosa consiste en los monomios que no están en. Los puntos en las esquinas interiores del diagrama de Young, nos permiten identificar los monomios mínimos en como se ve en los recuadros verdes. Por eso,.
En general, a cualquier conjunto de puntos de la cuadrícula, podemos asociar un diagrama de Young, de modo que el ideal monomial se construya determinando las esquinas interiores que componen el diagrama de escalera; Del mismo modo, dado un ideal monomial, podemos hacer el diagrama de Young observando ely representándolos como las esquinas interiores del diagrama de Young. Las coordenadas de las esquinas interiores representarían los poderes de los monomios mínimos en. Por tanto, los ideales monomiales pueden describirse mediante diagramas de particiones de Young.
Además, el -acción en el set de tal que como un espacio vectorial sobretiene puntos fijos que corresponden únicamente a ideales monomiales, que corresponden a particiones de tamaño n , que se identifican mediante diagramas de Young con n recuadros.
Ordenamiento monomial y base Gröbner
Una ordenación monomial es una ordenación bien en el conjunto de monomios de tal manera que si son monomios, entonces .
Por orden monomial , podemos establecer las siguientes definiciones para un polinomio en.
Definición [1]
- Considere un ideal y un orden monomial fijo. El término principal de un polinomio distinto de cero, denotado por es el término monomial de orden máximo en y el término principal de es .
- El ideal de los términos principales , denotado por, es el ideal generado por los términos principales de cada elemento del ideal, es decir, .
- Una base de Gröbner para un ideal es un conjunto finito de generadores por cuyos términos principales generan el ideal de todos los términos principales en , es decir, y .
Tenga en cuenta que en general depende del orden utilizado; por ejemplo, si elegimos el orden lexicográfico ensujeto ax > y , entonces, pero si tomamos y > x entonces.
Además, los monomios están presentes sobre la base de Gröbner y para definir el algoritmo de división para polinomios con varias variables.
Note que para un ideal monomial , el conjunto finito de generadores es una base de Gröbner para . Para ver esto, tenga en cuenta que cualquier polinomio se puede expresar como por . Entonces el término principal de es un múltiplo para algunos . Como resultado, es generado por el igualmente.
Ver también
Notas al pie
Referencias
- Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005), Álgebra conmutativa combinatoria , Textos de posgrado en matemáticas , 227 , Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-22356-8
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (tercera ed.), Nueva York : John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7
Otras lecturas
- Cox, David . "Conferencias sobre variedades tóricas" (PDF) . Tema 3. §4 y §5.
- Sturmfels, Bernd (1996). Bases de Gröbner y politopos convexos . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense .
- Taylor, Diana Kahn (1966). Ideales generados por monomios en una secuencia R (tesis doctoral). Universidad de Chicago. Señor 2611561 . ProQuest 302227382 .
- Teissier, Bernard (2004). Ideales monomiales, ideales binomiales, ideales polinomiales (PDF) .