En matemáticas, un anillo de Stanley-Reisner , o anillo facial , es un cociente de un álgebra polinomial sobre un campo por un ideal monomial sin cuadrados . Tales ideales se describen de manera más geométrica en términos de complejos simpliciales finitos . La construcción del anillo Stanley-Reisner es una herramienta básica dentro de la combinatoria algebraica y el álgebra conmutativa combinatoria . [1] Sus propiedades fueron investigadas por Richard Stanley , Melvin Hochster y Gerald Reisner a principios de la década de 1970.
Definición y propiedades
Dado un complejo simplicial abstracto Δ en el conjunto de vértices { x 1 , ..., x n } y un campo k , el anillo de Stanley-Reisner correspondiente , o anillo de la cara , denotado k [Δ], se obtiene del anillo polinomial k [ x 1 , ..., x n ] cociente del I Δ ideal generado por los monomios sin cuadrados correspondientes a las no caras de Δ:
El ideal I Δ se denomina ideal de Stanley-Reisner o ideal facial de Δ. [2]
Propiedades
- El anillo de Stanley-Reisner k [Δ] está multigrado por Z n , donde el grado de la variable x i es el i- ésimo vector base estándar e i de Z n .
- Como un espacio vectorial sobre k , el anillo de Stanley-Reisner de Δ admite una descomposición de suma directa
- cuyos sumandos k [Δ] σ tienen una base de los monomios (no necesariamente libres de cuadrados) apoyados en las caras σ de Δ.
- La dimensión de Krull de k [Δ] es mayor que la dimensión del complejo simplicial Δ.
- El multigraded, o bien , serie Hilbert de k [Δ] está dada por la fórmula
- La serie de Hilbert ordinaria o burda de k [Δ] se obtiene de su serie de Hilbert multigrado estableciendo el grado de cada variable x i igual a 1:
- donde d = dim (Δ) + 1 es la dimensión de Krull de k [Δ] y f i es el número de i- caras de Δ. Si está escrito en la forma
- entonces los coeficientes ( h 0 , ..., h d ) del numerador forman el h -vector del complejo simplicial Δ.
Ejemplos de
Es común suponer que cada vértice { x i } es un simplex en Δ. Por tanto, ninguna de las variables pertenece al ideal de Stanley-Reisner I Δ .
- Δ es un simplex { x 1 , ..., x n }. Entonces I Δ es el ideal cero y
- es el álgebra polinomial en n variables sobre k .
- El complejo simplicial Δ consta de n vértices aislados { x 1 }, ..., { x n }. Luego
- y el anillo de Stanley-Reisner es el siguiente truncamiento del anillo polinomial en n variables sobre k :
- Generalizando los dos ejemplos anteriores, sea Δ el d -esqueleto del simplex { x 1 , ..., x n }, por lo que consta de todos los subconjuntos de elementos ( d + 1) de { x 1 , ..., x n }. Entonces, el anillo de Stanley-Reisner sigue el truncamiento del anillo polinomial en n variables sobre k :
- Suponga que el complejo simplicial abstracto Δ es una unión simplicial de complejos simpliciales abstractos Δ ′ en x 1 , ..., x my Δ ′ ′ en x m +1 , ..., x n . Entonces, el anillo de Stanley-Reisner de Δ es el producto tensorial sobre k de los anillos de Stanley-Reisner de Δ ′ y Δ ′ ′ :
Condición de Cohen-Macaulay y la conjetura del límite superior
El anillo de la cara k [Δ] es un álgebra multigrado sobre k todos cuyos componentes con respecto a la clasificación fina tienen dimensión como máximo 1. En consecuencia, su homología se puede estudiar por métodos combinatorios y geométricos. Un complejo simplicial abstracto Δ se llama Cohen-Macaulay sobre k si su anillo de la cara es un anillo de Cohen-Macaulay . [3] En su tesis de 1974, Gerald Reisner dio una caracterización completa de tales complejos. Esto pronto fue seguido por resultados homológicos más precisos sobre los anillos faciales debidos a Melvin Hochster. Luego, Richard Stanley encontró una manera de probar la Conjetura del límite superior para esferas simpliciales , que estaba abierta en ese momento, utilizando la construcción del anillo facial y el criterio de Cohen-Macaulayness de Reisner. La idea de Stanley de traducir conjeturas difíciles en combinatoria algebraica en enunciados del álgebra conmutativa y probarlas mediante técnicas homológicas fue el origen del campo de rápido desarrollo del álgebra conmutativa combinatoria .
Criterio de Reisner
Un complejo simplicial Δ es Cohen-Macaulay sobre k si y solo si para todos los simples σ ∈ Δ, todos los grupos reducidos de homología simplicial del enlace de σ en Δ con coeficientes en k son cero, excepto el dimensional superior: [3]
Un resultado debido a Munkres muestra que la Cohen-Macaulayness de Δ sobre k es una propiedad topológica: depende sólo de la clase de homeomorfismo del complejo simplicial Δ. Es decir, sea | Δ | sea la realización geométrica de Δ. Entonces, la desaparición de los grupos de homología simplicial en el criterio de Reisner es equivalente a la siguiente declaración sobre los grupos de homología singulares reducidos y relativos de | Δ |:
En particular, si el complejo Δ es una esfera simplicial , es decir, | Δ | es homeomorfo a una esfera , entonces es Cohen-Macaulay sobre cualquier campo. Este es un paso clave en la prueba de Stanley de la conjetura del límite superior. Por el contrario, existen ejemplos de complejos simpliciales cuya Cohen-Macaulayness depende de la característica del campo k .
Referencias
- Melvin Hochster , anillos de Cohen-Macaulay, combinatorios y complejos simpliciales . Teoría del anillo, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), págs. 171–223. Notas de la conferencia en Pure y Appl. Math., Vol. 26, Dekker, Nueva York, 1977
- Stanley, Richard (1996). Álgebra combinatoria y conmutativa . Progreso en Matemáticas. 41 (Segunda ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3836-9. Zbl 0838.13008 .
- Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Anillos de Cohen-Macaulay . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 39 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-41068-1. Zbl 0788.13005 .
- Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas. 227 . Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001 .
Otras lecturas
- Panov, Taras E. (2008). "Cohomología de anillos faciales y acciones toroidales". En Young, Nicholas; Choi, Yemon (eds.). Encuestas en matemática contemporánea . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 347 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 165–201. ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl 1140.13018 .
enlaces externos
- "Anillo Stanley-Reisner" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]