En el campo matemático del análisis real , el teorema de la convergencia monótona es cualquiera de los teoremas relacionados que prueban la convergencia de secuencias monótonas (secuencias que no son decrecientes ni crecientes ) que también están acotadas . De manera informal, los teoremas establecen que si una secuencia aumenta y está limitada por encima de un supremo , entonces la secuencia convergerá al supremo; de la misma manera, si una secuencia es decreciente y está limitada por debajo por un infimum , convergerá al infimum.
Convergencia de una secuencia monótona de números reales
Lema 1
Si una secuencia de números reales aumenta y está acotada por encima, entonces su supremo es el límite.
Prueba
Dejar ser tal secuencia, y dejar ser el conjunto de términos de . Por suposición,no está vacío y delimitado por encima. Por la propiedad del límite superior mínimo de los números reales,existe y es finito. Ahora, para cada, existe tal que , ya que de lo contrario es un límite superior de , que contradice la definición de . Entonces desde está aumentando, y es su límite superior, para cada , tenemos . De ahí, por definición, el límite de es
Lema 2
Si una secuencia de números reales es decreciente y acotada por debajo, entonces su mínimo es el límite.
Prueba
La prueba es similar a la prueba para el caso en que la secuencia es creciente y acotada arriba,
Teorema
Si es una secuencia monótona de números reales (es decir, si a n ≤ a n +1 para cada n ≥ 1 o a n ≥ a n +1 para cada n ≥ 1), entonces esta secuencia tiene un límite si y solo si la secuencia está acotado . [1]
Prueba
- Dirección "Si": La demostración se deriva directamente de los lemas.
- Dirección "Sólo si": por definición de límite , cada secuencia con un limite está necesariamente acotado.
Convergencia de una serie monótona
Teorema
Si para todos los números naturales j y k , a j , k es un número real no negativo y a j , k ≤ a j +1, k , entonces [2] : 168
El teorema establece que si tienes una matriz infinita de números reales no negativos tal que
- las columnas crecen débilmente y están acotadas, y
- para cada fila, la serie cuyos términos están dados por esta fila tiene una suma convergente,
entonces el límite de las sumas de las filas es igual a la suma de la serie cuyo término k viene dado por el límite de la columna k (que también es su superior ). La serie tiene una suma convergente si y solo si la secuencia (ligeramente creciente) de sumas de filas está acotada y, por lo tanto, convergente.
Como ejemplo, considere la serie infinita de filas
donde n se acerca al infinito (el límite de esta serie es e ). Aquí la entrada de la matriz en la fila ny la columna k es
las columnas ( k fijo ) de hecho aumentan débilmente con ny están limitadas (¡por 1 / k !), mientras que las filas solo tienen un número finito de términos distintos de cero, por lo que se cumple la condición 2; el teorema ahora dice que puedes calcular el límite de las sumas de las filas tomando la suma de los límites de la columna, a saber .
Lema de Beppo Levi
El siguiente resultado se debe a Beppo Levi , quien demostró una ligera generalización en 1906 de un resultado anterior de Henri Lebesgue . [3] En lo que sigue, denota el -algebra de Borel se pone en . Por definición, contiene el conjunto y todos los subconjuntos de Borel de
Teorema
Dejar ser un espacio de medida , y. Considere una secuencia puntual no decreciente de - funciones no negativas medibles, es decir, para cada y cada ,
Establecer el límite puntual de la secuencia ser - estar . Es decir, para cada,
Luego es -medible y
Observación 1. Las integrales pueden ser finitas o infinitas.
Observación 2. El teorema permanece verdadero si sus supuestos son válidos.-Casi en cualquier parte. En otras palabras, basta con que haya un conjunto nulo tal que la secuencia no disminuciones para cada Para ver por qué esto es cierto, comenzamos con una observación de que permitir la secuencia para no disminuir puntualmente casi en todas partes causa su límite puntual ser indefinido en algún conjunto nulo . En ese conjunto nulo,entonces puede definirse arbitrariamente, por ejemplo, como cero, o de cualquier otra forma que preserve la mensurabilidad. Para ver por qué esto no afectará el resultado del teorema, tenga en cuenta que, dado que tenemos, para cada
- y
siempre que es -mensurable. [4] ( sección 21.38 ) (Estas igualdades se derivan directamente de la definición de integral de Lebesgue para una función no negativa).
Observación 3. Bajo los supuestos del teorema,
(Tenga en cuenta que la segunda cadena de igualdades se deriva de la Observación 5).
Observación 4. La siguiente prueba no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí. El teorema, por tanto, se puede utilizar para probar otras propiedades básicas, como la linealidad, pertenecientes a la integración de Lebesgue.
Comentario 5 (monotonicidad de la integral de Lebesgue). En la siguiente demostración, aplicamos la propiedad monótona de la integral de Lebesgue solo a funciones no negativas. Específicamente (ver Observación 4), deje que las funciones ser -mensurable.
- Si en todas partes luego
- Si y luego
Prueba. Denotar el conjunto de simple -funciones medibles tal que en todas partes
1. Desde tenemos
Por definición de integral de Lebesgue y las propiedades de supremum,
2. Deje ser la función indicadora del conjunto Se puede deducir de la definición de integral de Lebesgue que
si nos damos cuenta de que, por cada fuera de Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad implica
Prueba
Esta prueba no se basa en el lema de Fatou . Sin embargo, explicamos cómo podría usarse ese lema.
Para aquellos que no estén interesados en una prueba independiente, se pueden omitir los resultados intermedios a continuación.
Resultados intermedios
Integral de Lebesgue como medida
Lema 1. Seaser un espacio medible. Considere un simple-función no negativa medible . Para un subconjunto, definir
Luego es una medida en .
Prueba
La monotonicidad se deriva de la Observación 5. Aquí, solo probaremos la aditividad contable, dejando el resto en manos del lector. Dejar, donde todos los decorados son disjuntos por pares. Debido a la sencillez,
para algunas constantes finitas no negativas y conjuntos disjuntos por pares tal que . Por definición de integral de Lebesgue,
Dado que todos los conjuntos son disjuntos por pares, la aditividad contable de Nos da
Dado que todos los sumandos son no negativos, la suma de la serie, ya sea que esta suma sea finita o infinita, no puede cambiar si lo hace el orden de suma. Por esta razón,
según sea necesario.
"Continuidad desde abajo"
La siguiente propiedad es una consecuencia directa de la definición de medida.
Lema 2. Sea ser una medida, y , dónde
es una cadena no decreciente con todos sus conjuntos -mensurable. Luego
Prueba del teorema
Paso 1. Comenzamos mostrando que es -mensurable. [4] ( sección 21.3 )
Nota. Si estuviéramos usando el lema de Fatou, la mensurabilidad se seguiría fácilmente de la Observación 3 (a).
Para hacer esto sin usar el lema de Fatou, es suficiente mostrar que la imagen inversa de un intervalo debajo es un elemento de sigma-álgebra en , porque los intervalos (cerrados) generan el álgebra sigma de Borel en los reales. Desde es un intervalo cerrado y, para cada , ,
Por lo tanto,
Siendo la imagen inversa de un Borel bajo un-función medible , cada conjunto en la intersección contable es un elemento de . Desde-algebras son, por definición, cerradas bajo intersecciones contables, esto muestra que es -medible y el integral está bien definido (y posiblemente infinito).
Paso 2. Primero mostraremos que
La definición de y monotonicidad de implica que , para cada y cada . Por monotonicidad (o, más precisamente, su versión más restringida establecida en la Observación 5; ver también la Observación 4) de la integral de Lebesgue,
y
Tenga en cuenta que el límite de la derecha existe (finito o infinito) porque, debido a la monotonicidad (ver Observación 5 y Observación 4), la secuencia no es decreciente.
Fin del paso 2.
Ahora probamos la desigualdad inversa. Buscamos mostrar que
- .
Prueba usando el lema de Fatou. Según la observación 3, la desigualdad que queremos probar es equivalente a
Pero esto último se sigue inmediatamente del lema de Fatou, y la prueba es completa.
Prueba independiente. Para probar la desigualdad sin usar el lema de Fatou, necesitamos algo de maquinaria adicional. Denotar el conjunto de simple -funciones medibles tal que en .
Paso 3. Dada una función simple y un numero real , definir
Luego , , y .
Paso 3a. Para probar la primera afirmación, dejemos, para una colección finita de conjuntos medibles disjuntos por pares tal que , algunas constantes (finitas) no negativas , y que denota la función indicadora del conjunto .
Para cada se sostiene si y solo si Dado que los conjuntos son disjuntos por pares,
Desde la preimagen del conjunto Borel bajo la función medible es medible, y -álgebras, por definición, están cerradas bajo intersección y uniones finitas, la primera afirmación sigue.
Paso 3b. Para probar la segunda afirmación, tenga en cuenta que, para cada y cada ,
Paso 3c. Para probar la tercera afirmación, mostramos que.
De hecho, si, por el contrario, , luego un elemento
existe tal que , para cada . Tomando el límite como, obtenemos
Pero por suposición inicial, . Ésta es una contradicción.
Paso 4. Para cada simple-función no negativa medible ,
Para probar esto, defina . Por el Lema 1, es una medida en . Por "continuidad desde abajo" (Lema 2),
según sea necesario.
Paso 5. Ahora demostramos que, para cada,
De hecho, usando la definición de , la no negatividad de , y la monotonicidad de la integral de Lebesgue (ver Observación 5 y Observación 4), tenemos
para cada . De acuerdo con el Paso 4, como, la desigualdad se vuelve
Tomando el límite como rendimientos
según sea necesario.
Paso 6. Ahora podemos demostrar la desigualdad inversa, es decir
De hecho, por no negatividad, y Para el cálculo a continuación, la no negatividad de es esencial. Aplicando la definición de integral de Lebesgue y la desigualdad establecida en el Paso 5, tenemos
La prueba está completa.
Ver también
Notas
- ↑ Bibby, John (1974) dio una generalización de este teorema . "Axiomatizaciones de la media y una mayor generalización de secuencias monotónicas" . Revista matemática de Glasgow . 15 (1): 63–65. doi : 10.1017 / S0017089500002135 .
- ^ Ver por ejemplo Yeh, J. (2006). Análisis real: teoría de la medida e integración . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.
- ^ Schappacher, Norbert ; Schoof, René (1996), "Beppo Levi y la aritmética de las curvas elípticas" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi : 10.1007 / bf03024818 , MR 1381581 , Zbl 0849.01036
- ^ a b Ver por ejemplo Schechter, Erik (1997). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-622760-8.