La relación de las funciones de densidad anteriores está aumentando en el parámetro, entonces satisface la propiedad de razón de verosimilitud monótona .
En estadística , la propiedad de razón de verosimilitud monótona es una propiedad de la razón de dos funciones de densidad de probabilidad (PDF). Formalmente, las distribuciones ƒ ( x ) yg ( x ) tienen la propiedad si
es decir, si la razón no es decreciente en el argumento .
Si las funciones son diferenciables en primer lugar, la propiedad a veces puede indicarse
Para dos distribuciones que satisfacen la definición con respecto a algún argumento x, decimos que "tienen el MLRP en x ". Para una familia de distribuciones que satisfacen todas la definición con respecto a algún estadístico T ( X ), decimos que "tienen el MLR en T ( X )".
Intuición
El MLRP se utiliza para representar un proceso de generación de datos que disfruta de una relación directa entre la magnitud de alguna variable observada y la distribución de la que se basa. Si satisface el MLRP con respecto a , cuanto mayor sea el valor observado , es más probable que se haya extraído de la distribución en vez de . Como es habitual en las relaciones monótonas, la monotonicidad de la razón de verosimilitud resulta útil en las estadísticas, sobre todo cuando se utiliza la estimación de máxima verosimilitud . Además, las familias de distribución con MLR tienen una serie de propiedades estocásticas de buen comportamiento, como dominancia estocástica de primer orden y ratios de riesgo crecientes . Desafortunadamente, como también es habitual, la fuerza de esta suposición tiene como precio el realismo. Muchos procesos en el mundo no exhiben una correspondencia monótona entre entrada y salida.
Ejemplo: trabajar duro o holgazanear
Suponga que está trabajando en un proyecto y puede trabajar duro o holgazanear. Llame a su elección de esfuerzo y la calidad del proyecto resultante . Si el MLRP es válido para la distribución de q condicionada a su esfuerzo, cuanto mayor sea la calidad, es más probable que haya trabajado duro. Por el contrario, cuanto menor sea la calidad, más probabilidades habrá de que se afloje.
- Elige esfuerzo donde H significa alto, L significa bajo
- Observar trazada desde . Según la ley de Bayes con uniforme previo,
- Suponer satisface el MLRP. Reordenando, la probabilidad de que el trabajador haya trabajado duro es
- que, gracias al MLRP, está aumentando monótonamente en (porque está disminuyendo en ). Por lo tanto, si algún empleador está haciendo una "revisión de desempeño", puede inferir el comportamiento de su empleado de los méritos de su trabajo.
Familias de distribuciones que satisfacen MLR
Los modelos estadísticos a menudo asumen que los datos son generados por una distribución de alguna familia de distribuciones y buscan determinar esa distribución. Esta tarea se simplifica si la familia tiene la propiedad de razón de verosimilitud monótona (MLRP).
Una familia de funciones de densidad indexado por un parámetro tomando valores en un conjunto ordenado se dice que tiene una razón de verosimilitud monótona (MLR) en la estadística si por alguna ,
- es una función no decreciente de .
Entonces decimos que la familia de distribuciones "tiene MLR en ".
Lista de familias
Familia | en el cual tiene el MLR |
---|---|
Exponencial | observaciones |
Binomio | observaciones |
Poisson | observaciones |
Normal | Si conocido, observaciones |
Evaluación de la hipótesis
Si la familia de variables aleatorias tiene el MLRP en , se puede determinar fácilmente una prueba uniformemente más poderosa para la hipótesis versus .
Ejemplo: esfuerzo y rendimiento
Ejemplo: Let ser un insumo en una tecnología estocástica - el esfuerzo del trabajador, por ejemplo - y su salida, cuya probabilidad se describe mediante una función de densidad de probabilidad Entonces la propiedad monótona de razón de verosimilitud (MLRP) de la familia se expresa de la siguiente manera: para cualquier , el hecho de que implica que la relación está aumentando en .
Relación con otras propiedades estadísticas
Las verosimilitudes monótonas se utilizan en varias áreas de la teoría estadística, incluida la estimación puntual y la prueba de hipótesis , así como en modelos de probabilidad .
Familias exponenciales
Las familias exponenciales de un parámetro tienen funciones de verosimilitud monótonas. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con
tiene una razón de verosimilitud monótona no decreciente en el estadístico suficiente T ( x ), siempre que no es decreciente.
Pruebas más poderosas: el teorema de Karlin-Rubin
Las funciones de verosimilitud monótona se utilizan para construir uniformemente las pruebas más poderosas , de acuerdo con el teorema de Karlin-Rubin . [1] Considere una medida escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar θ , y defina la razón de verosimilitud. Si es monótono no decreciente, en , para cualquier par (lo que significa que el mayor es más probable es), luego la prueba de umbral:
- dónde es elegido para que
es la prueba UMP de tamaño α para probar
Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para probar
Estimación mediana sin sesgo
Las funciones de verosimilitud monótonas se utilizan para construir estimadores de mediana insesgada , utilizando métodos especificados por Johann Pfanzagl y otros. [2] [3] Uno de estos procedimientos es análogo al procedimiento de Rao-Blackwell para estimadores de media insesgada : el procedimiento es válido para una clase más pequeña de distribuciones de probabilidad que el procedimiento de Rao-Blackwell para la estimación de media insesgada, pero para una mayor clase de funciones de pérdida . [3] ( p . 713 )
Análisis de por vida: análisis de supervivencia y confiabilidad
Si una familia de distribuciones tiene la propiedad monótona de razón de verosimilitud en ,
- la familia tiene tasas de peligro decrecientes monótonas en (pero no necesariamente en )
- la familia exhibe el dominio estocástico de primer orden (y por lo tanto de segundo orden) eny la mejor actualización bayesiana de está aumentando en .
Pero no a la inversa: ni las tasas de riesgo monótonas ni el dominio estocástico implican el MLRP.
Pruebas
Deje que la familia de distribución satisfacer MLR en x , de modo que para y :
o equivalente:
Integrando esta expresión dos veces, obtenemos:
1 a con respecto a integrar y reorganizar para obtener | 2. Desde con respecto a integrar y reorganizar para obtener |
Dominio estocástico de primer orden
Combine las dos desigualdades anteriores para obtener un dominio de primer orden:
Tasa de riesgo monótono
Utilice solo la segunda desigualdad anterior para obtener una tasa de riesgo monótona:
Usos
Ciencias económicas
El MLR es una condición importante en la distribución de tipos de agentes en el diseño de mecanismos . [ cita requerida ] La mayoría de las soluciones a los modelos de diseño de mecanismos asumen una distribución de tipo para satisfacer el MLR para aprovechar un método de solución común. [ cita requerida ]
Referencias
- ^ Casella, G .; Berger, RL (2008), Inferencia estadística , Brooks / Cole. ISBN 0-495-39187-5 (Teorema 8.3.17)
- ^ Pfanzagl, Johann (1979). "En estimadores insesgados de mediana óptima en presencia de parámetros molestos" . Annals of Statistics . 7 (1): 187-193. doi : 10.1214 / aos / 1176344563 .
- ^ a b Brown, LD ; Cohen, Arthur; Strawderman, WE (1976). "Un teorema de clase completo para la razón de verosimilitud monótona estricta con aplicaciones" . Ana. Estadista . 4 (4): 712–722. doi : 10.1214 / aos / 1176343543 .