En el análisis complejo , un área de las matemáticas , el teorema de Montel se refiere a uno de los dos teoremas sobre familias de funciones holomórficas . Estos llevan el nombre del matemático francés Paul Montel y dan las condiciones bajo las cuales una familia de funciones holomórficas es normal .
Las familias localmente delimitadas de manera uniforme son normales
La primera y más simple versión del teorema establece que una familia de funciones holomórficas definidas en un subconjunto abierto de números complejos es normal si y solo si está acotada localmente de manera uniforme.
Este teorema tiene el siguiente corolario formalmente más fuerte. Suponer que es una familia de funciones meromorfas en un conjunto abierto . Si es tal que no es normal en , y es un barrio de , luego es denso en el plano complejo.
Funciones que omiten dos valores
La versión más fuerte del Teorema de Montel (a veces denominado Prueba de Normalidad Fundamental ) establece que una familia de funciones holomórficas, todas las cuales omiten los mismos dos valores es normal.
Necesidad
Las condiciones de los teoremas anteriores son suficientes, pero no necesarias para la normalidad. De hecho, la familia es normal, pero no omite ningún valor complejo.
Pruebas
La primera versión del teorema de Montel es una consecuencia directa del teorema de Marty (que establece que una familia es normal si y solo si las derivadas esféricas están limitadas localmente) y la fórmula integral de Cauchy . [1]
Este teorema también se ha denominado teorema de Stieltjes-Osgood, en honor a Thomas Joannes Stieltjes y William Fogg Osgood . [2]
El Corolario mencionado anteriormente se deduce de la siguiente manera. Suponga que todas las funciones en omitir la misma vecindad del punto . Postcomponiendo con el mapa obtenemos una familia uniformemente acotada, que es normal según la primera versión del teorema.
La segunda versión del teorema de Montel se puede deducir de la primera usando el hecho de que existe una cobertura universal holomórfica desde el disco unitario hasta el plano dos veces perforado.. (Tal cobertura viene dada por la función modular elíptica ).
Esta versión del teorema de Montel también se puede derivar del teorema de Picard , utilizando el lema de Zalcman .
Relación con los teoremas de funciones completas
Un principio heurístico conocido como Principio de Bloch (precisado por el lema de Zalcman ) establece que las propiedades que implican que una función completa es constante corresponden a propiedades que aseguran que una familia de funciones holomórficas sea normal.
Por ejemplo, la primera versión del teorema de Montel mencionado anteriormente es el análogo del teorema de Liouville , mientras que la segunda versión corresponde al teorema de Picard .
Ver también
Notas
- ^ Hartje Kriete (1998). Progreso en Dinámica Holomórfica . Prensa CRC. pag. 164 . Consultado el 1 de marzo de 2009 .
- ^ Reinhold Remmert, Leslie Kay (1998). Temas clásicos en la teoría de funciones complejas . Saltador. pag. 154 . Consultado el 1 de marzo de 2009 .
Referencias
- John B. Conway (1978). Funciones de una variable compleja I . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
- "Teorema de Montel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- JL Schiff (1993). Familias normales . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.
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