En matemáticas , con aplicación especial para el análisis complejo , una familia normal, es un pre-compacto subconjunto del espacio de funciones continuas . De manera informal, esto significa que las funciones en la familia no están ampliamente distribuidas, sino que se mantienen juntas de una manera algo "agrupada". A veces, si cada función en una familia normal, F satisface una propiedad particular (por ejemplo, es holomorphic ), entonces la propiedad también se mantiene para cada punto límite del conjunto F .
Más formalmente, permiten X e Y sean espacios topológicos . El conjunto de funciones continuastiene una topología natural llamada topología compacta-abierta . Un familiar normal es un pre-compacto subconjunto con respecto a esta topología.
Si Y es un espacio métrico , entonces la topología compacta-abierta es equivalente a la topología de convergencia compacta , [1] y obtenemos una definición más cercana a la clásica: una colección F de funciones continuas se llama familia normal si cada secuencia de funciones en F contiene una subsecuencia que converge uniformemente sobre subconjuntos compactos de X a una función continua de X a Y . Es decir, para cada secuencia de funciones en F , hay una subsecuencia y una función continua de X a Y, de modo que lo siguiente sea válido para cada subconjunto compacto K contenido en X :
dónde es la métrica de Y .
Familias normales de funciones holomorfas
El concepto surgió en el análisis complejo , es decir, el estudio de funciones holomorfas . En este caso, X es un subconjunto abierto del plano complejo , Y es el plano complejo y la métrica de Y viene dada por. Como consecuencia del teorema de la integral de Cauchy , una secuencia de funciones holomórficas que converge uniformemente en conjuntos compactos debe converger a una función holomórfica. Es decir, cada punto límite de una familia normal es holomórfico.
Las familias normales de funciones holomórficas proporcionan la forma más rápida de demostrar el teorema de mapeo de Riemann . [2]
De manera más general, si los espacios X e Y son superficies de Riemann , e Y está equipado con la métrica que proviene del teorema de uniformización , entonces cada punto límite de una familia normal de funciones holomórficas también es holomórfico.
Por ejemplo, si Y es la esfera de Riemann , entonces la métrica de uniformización es la distancia esférica . En este caso, una función holomórfica de X a Y se denomina función meromórfica , por lo que cada punto límite de una familia normal de funciones meromórficas es una función meromórfica.
Criterios
En el contexto clásico de las funciones holomórficas, existen varios criterios que pueden usarse para establecer que un conjunto es una familia normal: El teorema de Montel establece que un conjunto de funciones holomórficas limitadas localmente es normal. El teorema de Montel-Caratheodory establece que la colección de funciones meromorfas que omiten los valores cero y uno es normal.
El teorema de Marty [3] proporciona un criterio que es equivalente a la definición en el contexto de funciones meromórficas: Un conjunto F de funciones meromórficas de un dominio al plano complejo es una familia normal si y solo si para cada subconjunto compacto K de U existe una constante C de modo que para caday cada z en K tenemos
De hecho, la expresión de la izquierda es la fórmula para el retroceso del elemento de longitud de arco en la esfera de Riemann al plano complejo a través de la proyección inversa de la estereográfica .
Historia
Paul Montel acuñó por primera vez el término "familia normal" en 1911. [4] [5] Debido a que el concepto de familia normal ha sido continuamente muy importante para el análisis complejo, la terminología de Montel todavía se usa hasta el día de hoy, aunque desde una perspectiva moderna , algunos matemáticos podrían preferir la frase subconjunto precompacto. Tenga en cuenta que aunque la noción de topología abierta compacta generaliza y aclara el concepto, en muchas aplicaciones la definición original es más práctica.
Ver también
Notas
- ^ Munkres. Topología`` Teorema 46.8 .
- ^ Ver por ejemplo
- Ahlfors 1953 , Ahlfors 1966 , Ahlfors 1978
- Conway 1978
- Beardon 1979
- ^ Gamelin. Análisis complejo, sección 12.1 .
- ↑ P. Montel, CR Acad. Sci. Paris 153 (1911), 996–998; Jahrbuch 42 , página 426
- ^ Remmert, Rienhard (1998). Temas clásicos en la teoría de funciones complejas . Traducido por Leslie Kay. Saltador. pag. 154 . Consultado el 1 de marzo de 2009 .
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1953), Análisis complejo. Introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja , McGraw-Hill
- Ahlfors, Lars V. (1966), Análisis complejo. Una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja , Serie internacional en matemáticas puras y aplicadas (2a ed.), McGraw-Hill
- Ahlfors, Lars V. (1978), Análisis complejo. Una introducción a la teoría de las funciones analíticas de una variable compleja , Serie internacional en matemáticas puras y aplicadas (3.a ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
- Beardon, Alan F. (1979), Análisis complejo. El principio del argumento en análisis y topología , John Wiley & Sons, ISBN 0471996718
- Chuang, Chi Tai (1993), Familias normales de funciones meromórficas , World Scientific, ISBN 9810212577
- Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
- Gamelin, Theodore W. (2001). Análisis complejo . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95093-1.
- Marty, Frederic : Recherches sur la répartition des valeurs d'une function méromorphe. Ana. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 1931, 28, N 3, pág. 183–261.
- Montel, Paul (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leur applications (en francés), Gauthier-Villars
- Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Schiff, JL (1993). Familias normales . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.
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