En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Montel , que lleva el nombre de Paul Montel , es cualquier espacio vectorial topológico (TVS) en el que se cumple un análogo del teorema de Montel . Específicamente, un espacio de Montel es un espacio vectorial topológico en barril en el que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto .
Definición
Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff se denomina espacio semi-Montel o perfecto si cada subconjunto acotado es relativamente compacto . [nota 1]
Un espacio vectorial topológico (TVS) tiene la propiedad de Heine-Borel si cada subconjunto cerrado y acotado es compacto .
Se sabe que un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado .
Un espacio de Montel es un espacio vectorial topológico en barril con la propiedad Heine-Borel. De manera equivalente, es un espacio semi-Montel infrabarrelled .
Caracterizaciones
Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y solo si cada secuencia débil- * convergente en su dual continuo es fuertemente convergente . [1]
Condiciones suficientes
- Espacios Semi-Montel
Un subespacio vectorial cerrado de un espacio semi-Montel es nuevamente un espacio semi-Montel. La suma directa localmente convexa de cualquier familia de espacios semi-Montel es nuevamente un espacio semi-Montel. El límite inverso de un sistema inverso formado por espacios semi-Montel es nuevamente un espacio semi-Montel. El producto cartesiano de cualquier familia de espacios semi-Montel (resp. Espacios Montel) es nuevamente un espacio semi-Montel (resp. Un espacio Montel).
- Espacios Montel
El fuerte dual de un espacio de Montel es Montel. Un espacio nuclear cuasi completo con barriles es un espacio de Montel. [1] Todo producto y suma directa localmente convexa de una familia de espacios Montel es un espacio Montel. [1] El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios de Montel es un espacio de Montel. [1] En contraste, los subespacios cerrados y los cocientes separados de los espacios de Montel en general ni siquiera son reflexivos . [1] Cada espacio de Fréchet Schwartz es un espacio de Montel. [2]
Propiedades
Los espacios de Montel son paracompactos y normales . [3] Los espacios semi-Montel son casi completos y semi-reflexivos mientras que los espacios Montel son reflexivos .
Ningún espacio de Banach de dimensión infinita es un espacio de Montel. Esto se debe a que un espacio de Banach no puede satisfacer la propiedad de Heine-Borel : la bola unitaria cerrada está cerrada y acotada, pero no compacta. Los espacios de Fréchet Montel son separables y tienen un fuerte dual bornológico . Un espacio de Montel metrizable es separable . [1]
Ejemplos de
En el análisis complejo clásico , el teorema de Montel afirma que el espacio de funciones holomórficas en un subconjunto conectado abierto de los números complejos tiene esta propiedad.
Muchos espacios de Montel de interés contemporáneo surgen como espacios de funciones de prueba para un espacio de distribuciones . El espacio C ∞ (Ω) de funciones suaves en un conjunto abierto Ω en ℝ n es un espacio de Montel equipado con la topología inducida por la familia de seminormas
para n = 1, 2,… y K rangos sobre subconjuntos compactos de Ω, y α es un índice múltiple . Del mismo modo, el espacio de funciones soportadas de forma compacta en un conjunto abierto con la topología final de la familia de inclusionesya que K abarca todos los subconjuntos compactos de Ω. El espacio Schwartz también es un espacio de Montel.
Contraejemplos
Todo espacio normado de dimensión infinita es un espacio en barril que no es un espacio de Montel. [4] En particular, cada espacio de Banach de dimensión infinita no es un espacio de Montel. [4] Existen espacios de Montel que no son separables y existen espacios de Montel que no están completos . [4] Existen espacios de Montel que tienen subespacios vectoriales cerrados que no son espacios de Montel. [5]
Ver también
- Espacio barreled
- Espacio bornológico
- Teorema de Heine-Borel
- LB-espacio
- LF-espacio
- Espacio nuclear
Notas
- ^ Recuerde que un subconjunto S de un espacio topológico X se llama relativamente compacto si su cierre en X es compacto .
Referencias
- ↑ a b c d e f Schaefer y Wolff , 1999 , págs. 194-195.
- ^ Khaleelulla 1982 , págs. 32-63.
- ^ "Espacio vectorial topológico" . Enciclopedia de Matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
- ↑ a b c Khaleelulla , 1982 , págs. 28-63.
- ^ Khaleelulla 1982 , págs.103-110 .
- Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y Análisis Funcional: Curso de Introducción a la Teoría de la Dualidad Topología-Bornología y su uso en Análisis Funcional . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. 26 . Amsterdam Nueva York Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. OCLC 316549583 .
- Hogbe-Nlend, Henri ; Moscatelli, VB (1981). Espacios Nucleares y Conucleares: Curso de Introducción a los Espacios Nucleares y Conucleares a la luz de la Dualidad "topología-bornología" . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. 52 . Amsterdam Nueva York Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087163-9. OCLC 316564345 .
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Köthe, Gottfried (1969). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
- Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 237 . Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
- "Espacio Montel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]