La superficie de Morin es el modelo a mitad de camino de la eversión de la esfera descubierto por Bernard Morin . Presenta una simetría rotacional cuádruple .
Si la esfera original que se va a evertir tiene su superficie exterior de color verde y su superficie interior de color rojo, entonces cuando la esfera se transforme mediante homotopía en una superficie de Morin, la mitad de la superficie de Morin visible hacia afuera será verde y la mitad roja:
La mitad de una superficie de Morin corresponde al exterior (verde) de la esfera
a la que es homeomorfa, y la otra mitad simétrica al interior (rojo).
Luego, al rotar la superficie 90 ° alrededor de su eje de simetría se intercambiarán sus colores, es decir, se intercambiará la polaridad interior-exterior de la superficie orientable, de modo que volver sobre los pasos de la homotopía exactamente en la misma posición volverá a la esfera original después de haber Así rotada la superficie de Morin se obtendrá una esfera cuya superficie exterior es roja y cuya superficie interior es verde: una esfera que se ha vuelto del revés. El siguiente es un resumen de la eversión:
1. Esfera: verde por fuera, roja por dentro ...
2. Se transforma en ...
3. Superficie de Morin,
3 '. Superficie de Morin rotada 90 ° ...
2 '. se transforma inversamente en ...
1 '. esfera: rojo por fuera, verde por dentro.
Estructura de la superficie de Morin
La superficie de Morin se puede dividir en cuatro secciones de cuartos congruentes. Estas secciones pueden denominarse aquí sección este, sección sur, sección oeste y sección norte o, respectivamente, sección 0, sección 1, sección 2 y sección 3.
- Sección Este de la superficie de Morin.
La superficie de Morin tiene un punto cuádruple por el que pasa su eje de simetría. Este punto cuádruple es el punto de partida y el punto final de seis líneas de puntos dobles. Cada una de las secciones de un cuarto está delimitada por tres de estas líneas de puntos dobles, de modo que cada sección de un cuarto es homeomorfa a un triángulo. La sección Este ahora se muestra esquemáticamente:
El diagrama muestra la sección Este delimitada por tres bucles: ABCDA, AEFGA y AHIJA. El tercer bucle, AHIJA, es una línea de puntos dobles donde la sección Este se cruza consigo misma. El bucle ABCDA es solo una línea de puntos dobles cuando la sección Este se une a la sección Oeste, y el bucle AEFGA es solo una línea de puntos dobles cuando la sección Este se une a la sección Sur. El punto es el punto cuádruple que en realidad es la superposición de cuatro puntos diferentes: A 0 , A 1 , A 2 , A 3 .
Así es como la sección Este se une a las otras secciones: deje que cada uno de sus bucles delimitadores sea especificado por un quintuple ordenado de puntos, luego
donde los puntos sin imprimación pertenecen a la sección 0 (Este), los puntos con imprimación pertenecen a la sección 1 (Sur), los puntos con imprimación doble pertenecen a la sección 2 (Oeste) y los puntos con imprimación triple pertenecen a la sección 3 (Norte).
Los tres bucles restantes conectan secciones de la siguiente manera:
La sección Este tiene, considerado por sí solo, un bucle de puntos dobles: AHIJA. Si la superficie se desenrolla y aplana el resultado será el siguiente:
que es homeomorfo a un triángulo:
Unir las cuatro secciones triangulares en sus costuras producirá un tetraedro :
que es homeomórfico a una esfera, lo que muestra que la superficie de Morin es una esfera que se interseca a sí misma.
Galería de superficie morin
- Cuatro vistas diferentes de la superficie de Morin: las dos primeras se muestran con "barreras de paso" recortadas, las dos últimas son vistas desde el "fondo".
Superficie analítica de Morin
La superficie de Morin puede describirse elegantemente mediante un conjunto de ecuaciones [1] en versión abierta (con polos enviados al infinito) o cerrada.
Galería de superficie analítica Morin
Ver también
Referencias
- ^ Bednorz, Adam; Bednorz, Witold (2017). "Eversión de la esfera analítica con mínimo de eventos topológicos". arXiv : 1711.10466 [ math.GT ].